创新设计高中数学苏教版选修22练习13习题课含答案解析Word下载.docx

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0，如f（x）＝－x3在R上是单调递减的，但f′（x）≤0.

题型一　与导数几何意义有关的问题

例1　对正整数n，设曲线y＝xn（1－x）在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{

}的前n项和的公式是Sn＝________.

答案　2n＋1－2

解析　由k＝y′|x＝2＝－2n－1（n＋2），得切线方程为y＋2n＝－2n－1（n＋2）（x－2），

令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝（n＋1）2n，所以

＝2n，

则数列{

}的前n项和Sn＝

＝2n＋1－2.

反思与感悟　找切点，求斜率是求切线方程的关键．

跟踪训练1　

如图，曲线y＝f（x）上任一点P（x，y）的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为

，则y与y′的关系是________．

答案　y2＝y′

解析　S△PTQ＝

×

y×

QT＝

，∴QT＝

，Q（x－

，0），根据导数的几何意义，

kPQ＝

＝y′∴y2＝y′.

题型二　与函数图象有关的问题

例2　已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则y＝f（x）的图象大致是________．（填序号）

答案　③

解析　当0<

1时，xf′（x）<

0，

∴f′（x）<

0，故y＝f（x）在（0,1）上为减函数，

排除图象①②.当1<

2时，xf′（x）>

∴f′（x）>

0，故y＝f（x）在（1,2）上为增函数，

因此排除图象④.

反思与感悟　研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；

而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．

跟踪训练2　已知R上可导的函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式（x2－2x－3）f′（x）>

0的解集为________．

答案　（－∞，－1）∪（－1,1）∪（3，＋∞）

题型三　函数的单调性、极值、最值问题

例3　已知函数f（x）＝ax3＋（a－1）x2＋48（a－2）x＋b的图象关于原点成中心对称．

（1）求a，b的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值；

（3）当x∈[1,5]时，求函数f（x）的最值．

解　

（1）∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，

则f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

得－ax3＋（a－1）x2－48（a－2）x＋b

＝－ax3－（a－1）x2－48（a－2）x－b，

于是2（a－1）x2＋2b＝0恒成立，∴

解得a＝1，b＝0；

（2）由

（1）得f（x）＝x3－48x，

∴f′（x）＝3x2－48＝3（x＋4）（x－4），

令f′（x）＝0，得x1＝－4，x2＝4，

令f′（x）<

0，得－4<

4，

令f′（x）>

0，得x<

－4或x>

4.

∴函数f（x）的递减区间为（－4,4），

递增区间为（－∞，－4）和（4，＋∞），

∴f（x）极大＝f（－4）＝128，f（x）极小＝f（4）＝－128.

（3）由

（2）知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，

又f（4）＝－128，f

（1）＝－47，f（5）＝－115，

所以函数f（x）的最大值为－47，最小值为－128.

反思与感悟　

（1）讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′（x）>

0得增区间，解f′（x）<

0得减区间．

（2）求极值时一般需确定f′（x）＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．

（3）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．

跟踪训练3　已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.

（2）求函数的极小值；

（3）求函数在[－1,1]的最值．

解　

（1）y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，

y|x＝1＝a＋b＝3，

即

解得a＝－6，b＝9.

（2）y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，

令y′＝0，得x＝0，或x＝1，

∴y极小值＝y|x＝0＝0.

（3）由

（1）知，函数y＝f（x）＝－6x3＋9x2，

又f（－1）＝15，f（0）＝0，f

（1）＝3，

所以函数的最大值为15，最小值为0.

题型四　导数的综合问题

例4　已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1,1）上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

解　

（1）f′（x）＝3x2－a，

因为f（x）在R上是增函数，

所以f′（x）≥0在R上恒成立．

即3x2－a≥0在R上恒成立．

即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.

当a＝0时，f（x）＝x3－1在R上单调递增，符合题意．

所以a的取值范围是（－∞，0]．

（2）假设存在实数a，使f（x）在（－1,1）上单调递减，

则f′（x）≤0在（－1,1）上恒成立．

即3x2－a≤0在（－1,1）上恒成立，即a≥3x2，

又因为在（－1,1）上，0≤3x2<

3，所以a≥3.

当a＝3时，f′（x）＝3x2－3，在（－1,1）上，f′（x）<

所以f（x）在（－1,1）上单调递减，即a＝3符合题意，

所以存在实数a，使f（x）在（－1,1）上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞）．

反思与感悟　在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立来求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；

若f′（x）能恒等于0，则由f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立解出的参数的取值范围来确定．

跟踪训练4　设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.

（1）求f（x）的单调区间与极值；

（2）求证：

当a>

ln2－1且x>

0时，ex>

x2－2ax＋1.

（1）解　∵f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，

∴f′（x）＝ex－2，x∈R.

令f′（x）＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，ln2）

ln2

（ln2，＋∞）

f′（x）

－

＋

f（x）

单调递减

2（1－ln2＋a）

单调递增

故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln2），单调递增区间是（ln2，＋∞），f（x）在x＝ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）＝eln2－2ln2＋2a＝2（1－ln2＋a），无极大值．

（2）证明　设g（x）＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，

于是g′（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.

由

（1）知当a>

ln2－1时，

g′（x）取最小值为g′（ln2）＝2（1－ln2＋a）>

0.

于是对任意x∈R，都有g′（x）>

所以g（x）在R内单调递增．

于是当a>

对任意x∈（0，＋∞），都有g（x）>

g（0）．

而g（0）＝0，从而对任意x∈（0，＋∞），都有g（x）>

即ex－x2＋2ax－1>

0，故ex>

1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥

2．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是________．

解析　若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′（x）>

0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′（x）<

因此④不正确．

3．设f（x）、g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g（x）－f（x）g′（x）<

0，则当a<

b时，下列关系正确的是________．（填序号）

①f（x）g（x）>

f（b）g（b）；

②f（x）g（a）>

f（a）g（x）；

③f（x）g（b）>

f（b）g（x）；

④f（x）g（x）>

f（a）g（a）．

解析　由条件，得

′＝

<

∴

在（a，b）上是减函数．

，∴f（x）g（b）>

f（b）g（x）．

4．函数f（x）＝x3－

x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f（x）<

m，则实数m的取值范围是________．

答案　（7，＋∞）

解析　f′（x）＝3x2－x－2，令f′（x）＝0，

得x＝－

或x＝1.可判断求得f（x）max＝f

（2）＝7.

∴f（x）<

m恒成立时，m>

7.

[呈重点、现规律]

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.

一、基础过关

1．函数f（x）＝

ex（sinx＋cosx）在区间

上的值域为________．

解析　f′（x）＝excosx≥0，

∴f（0）≤f（x）≤f

，

≤f（x）≤

e

2．使y＝sinx＋ax在R上是增函数的a的取值范围为__________．

答案　[1，＋∞）

解析　∵f′（x）＝cosx＋a≥0，∴a≥－cosx，

又－1≤cosx≤1，∴a≥1.

3．已知函数f（x）＝（m－2）x2＋（m2－4）x＋m是偶函数，函数g（x）＝－x3＋2x2＋mx＋5在（－∞，＋∞）内单调递减，则实数m＝________.

答案　－2

解析　由于f（x）＝（m－2）x2＋（m2－4）x＋m是偶函数，则m2－4＝0，m＝±

2.

由于g′（x）＝－3x2＋4x＋m<

0在（－∞，＋∞）内恒成立，

则Δ＝16＋4×

3m<

0，解得m<

，故m＝－2.

4．如图所示为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是________．（填序号）

解析　由y＝f′（x）的图象知y＝f′（x）在（0，＋∞）上单调递减，

说明函数y＝f（x）的切线的斜率在（0，＋∞）上也单调递减，故可排除①③.

又由图象知y＝f′（x）与y＝g′（x）的图象在x＝x0处相交，

说明y＝f（x）与y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除②.故填④.

5．已知a>

0，函数f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上单调递增，则a的最大值为________．

答案　3

解析　由题意知，f′（x）＝3x2－a≥0（x≥1），

∴a≤3x2，∴a≤3.

6．若函数y＝x3＋

x2＋m在[－2,1]上的最大值为

，则m＝________.

答案　2

解析　y′＝

′＝3x2＋3x＝3x（x＋1）．

由y′＝0，得x＝0或x＝－1.

∴f（0）＝m，f（－1）＝m＋

又∵f

（1）＝m＋

，f（－2）＝－8＋6＋m＝m－2，

∴f

（1）＝m＋

最大，∴m＋

，∴m＝2.

7．已知函数f（x）＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f（x）的一个极值点，求f（x）在[0，a]上的最值．

解　f′（x）＝3x2－2ax＋3，由已知得f′（3）＝0，

∴3×

9－6a＋3＝0.∴a＝5，∴f（x）＝x3－5x2＋3x＋6.

令f′（x）＝3x2－10x＋3＝0，得x1＝

，x2＝3.

则当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表.

3

（3,5）

5

6

递增

递减

－3

递增

21

∴f（x）在[0,5]上的最大值为f（5）＝21，

最小值为f（3）＝－3.

二、能力提升

8．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f（m）＋f′（n）的最小值是________．

答案　－13

解析　对函数f（x）求导得f′（x）＝－3x2＋2ax，

由函数f（x）在x＝2处取得极值知f′

（2）＝0，

即－3×

4＋2a×

2＝0，∴a＝3.

由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4，f′（x）＝－3x2＋6x，

易知f（x）在（－1,0）上单调递减，在（0,1）上单调递增，

∴当m∈[－1,1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.

又∵f′（x）＝－3x2＋6x的图象开口向下，

且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，

f′（n）min＝f′（－1）＝－9.

故f（m）＋f′（n）的最小值为－13.

9．已知对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x>

0时，有f′（x）>

0，g′（x）>

0，则当x<

0时，有f′（x）________0，g′（x）________0.

答案　>

　<

解析　由已知得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．

∵x>

0时，f′（x）>

∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上递增．

∴x<

0时，f（x）递增，g（x）递减．

0，g′（x）<

10．已知函数f（x）＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f（mx－2）＋f（x）<

0恒成立，则x的取值范围为________．

解析　∵f′（x）＝3x2＋1>

0恒成立，

∴f（x）在R上是增函数．

又f（－x）＝－f（x），∴y＝f（x）为奇函数．

由f（mx－2）＋f（x）<

得f（mx－2）<

－f（x）＝f（－x），

∴mx－2<

－x，

即mx－2＋x<

0在m∈[－2,2]上恒成立．

记g（m）＝xm－2＋x，

则

解得－2<

11．设函数f（x）＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f（x）过P（1,0），且在P点处的切线斜率为2.

（2）证明：

f（x）≤2x－2.

（1）解　f′（x）＝1＋2ax＋

由已知条件得

解得

（2）证明　因为f（x）的定义域为（0，＋∞），

由

（1）知f（x）＝x－x2＋3lnx.

设g（x）＝f（x）－（2x－2）＝2－x－x2＋3lnx，

则g′（x）＝－1－2x＋

当0<

1时，g′（x）>

0，当x>

1时，g′（x）<

所以g（x）在（0,1）内单调递增，在（1，＋∞）内单调递减．

而g

（1）＝0，故当x>

0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x－2.

12．已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）ex，

所以f′（x）＝（－x2＋2）ex.当f′（x）>

0时，（－x2＋2）ex>

注意到ex>

所以－x2＋2>

0，解得－

所以，函数f（x）的单调递增区间为（－

）．

同理可得，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－

）和（

，＋∞）．

（2）因为函数f（x）在（－1,1）上单调递增，

所以f′（x）≥0在（－1,1）上恒成立．

又f′（x）＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，

即[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0，

在（－1,1）上恒成立，注意到ex>

因此－x2＋（a－2）x＋a≥0在（－1,1）上恒成立，

也就是a≥

＝x＋1－

在（－1,1）上恒成立．

设y＝x＋1－

，则y′＝1＋

>

即y＝x＋1－

在（－1,1）上单调递增，

则y<

1＋1－

，故a≥

三、探究与拓展

13．已知f（x）＝ex－x，g（x）＝asinx＋b，g（x）在（

，g（

））处的切线方程为6

x－12y＋18－

π＝0.

（2）求g（x）的解析式；

（3）当x≥0时，g（x）≤mex恒成立，求m的取值范围．

解　

（1）令f′（x）＝ex－1＝0，得x＝0，

∴当x>

0；

当x<

0时，f′（x）<

∴f（x）的增区间为（0，＋∞），减区间为（－∞，0），f（x）极小＝f（0）＝1，无极大值．

（2）g′（x）＝acosx，g′（

）＝

a＝

，∴a＝1.

又g（

＋b，

∴6

·

－12（

＋b）＋18－

π＝0，∴b＝1，

∴g（x）＝sinx＋1.

（3）当x≥0时，sinx＋1≤mex，

令h（x）＝sinx＋1－mex，

当m<

1时，h（0）＝1－m>

0与已知条件矛盾，

首先证明sinx≤x在[0，＋∞）恒成立．

令r（x）＝sinx－x，则r′（x）＝cosx－1≤0恒成立，

∴r（x）为[0，＋∞）上的减函数，

r（x）≤r（0）＝0，∴sinx≤x，

由

（1）可知ex≥x＋1，∴当m≥1时，

h（x）＝sinx＋1－mex≤x＋1－mex≤ex－mex

＝（1－m）ex≤0，

综上可得m≥1.