创新设计高中数学苏教版选修22练习13习题课含答案解析Word下载.docx

1、0，如f（x）x3在R上是单调递减的，但f（x）0.题型一与导数几何意义有关的问题例 1对正整数n，设曲线yxn（1x）在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是Sn_.答案2n12解析由ky|x22n1（n2），得切线方程为y2n2n1（n2）（x2），令x0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0（n1）2n，所以2n，则数列的前n项和Sn2n12.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键跟踪训练 1如图，曲线yf（x）上任一点P（x，y）的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若PTQ的面积为，则y与y的关系是_答案y2y解析SPTQyQT，QT，Q（x，0），

2、根据导数的几何意义，kPQyy2y.题型二与函数图象有关的问题例2已知函数yxf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则yf（x）的图象大致是_（填序号） 答案解析当01时，xf（x）0，f（x）0，故yf（x）在（0,1）上为减函数，排除图象.当1f（x）0，故yf（x）在（1,2）上为增函数，因此排除图象.反思与感悟研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪

3、训练2已知R上可导的函数yf（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为_答案（，1）（1,1）（3，）题型三函数的单调性、极值、最值问题例3已知函数f（x）ax3（a1）x248（a2）xb的图象关于原点成中心对称（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）当x1,5时，求函数f（x）的最值解（1）函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，f（x）f（x），得ax3（a1）x248（a2）xbax3（a1）x248（a2）xb，于是2（a1）x22b0恒成立，解得a1，b0；（2）由（1）得f（x）x348x，f（x）3x2483（x4）

4、（x4），令f（x）0，得x14，x24，令f（x）0，得40，得x4.函数f（x）的递减区间为（4,4），递增区间为（，4）和（4，），f（x）极大f（4）128，f（x）极小f（4）128.（3）由（2）知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，又f（4）128，f（1）47，f（5）115，所以函数f（x）的最大值为47，最小值为128.反思与感悟（1）讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f（x）0得增区间，解f（x）0得减区间（2）求极值时一般需确定f（x）0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函

5、数的最值点（3）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练3已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.（2）求函数的极小值；（3）求函数在1,1的最值解（1）y3ax22bx，当x1时，y|x13a2b0，y|x1ab3，即解得a6，b9.（2）y6x39x2，y18x218x，令y0，得x0，或x1，y极小值y|x00.（3）由（1）知，函数yf（x）6x39x2，又f（1）15，f（0）0，f（1）3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型四导数的综合问题例 4已知函数f（x）x3ax1.（1）若f（x）在实数集

6、R上单调递增，求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1,1）上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解（1）f（x）3x2a，因为f（x）在R上是增函数，所以f（x）0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f（x）x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是（，0（2）假设存在实数a，使f（x）在（1,1）上单调递减，则f（x）0在（1,1）上恒成立即3x2a0在（1,1）上恒成立，即a3x2，又因为在（1,1）上，03x23，所以a3.当a3时，f（x）3x23，在（1,1）上，f（x）ln 21且x0时，exx2

7、2ax1.（1）解f（x）ex2x2a，xR，f（x）ex2，xR.令f（x）0，得xln 2.于是当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表：x（，ln 2）ln 2（ln 2，） f（x）f（x）单调递减 2（1ln 2a）单调递增 故f（x）的单调递减区间是（，ln 2），单调递增区间是（ln 2，），f（x）在xln 2处取得极小值，极小值为f（ln 2）eln 22ln 22a2（1ln 2a），无极大值（2）证明设g（x）exx22ax1，xR，于是g（x）ex2x2a，xR.由（1）知当aln 21时，g（x）取最小值为g（ln 2）2（1ln 2a）0.于是对任意xR，都有

8、g（x）所以g（x）在R内单调递增于是当a对任意x（0，），都有g（x）g（0）而g（0）0，从而对任意x（0，），都有g（x）即exx22ax10，故ex1若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_答案解析若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，只需y3x22xm0在R上恒成立，即412m0，m2设f（x）是函数f（x）的导函数，将yf（x）和yf（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_解析若函数在给定区间上是增函数，则yf（x）0，若函数在给定区间上是减函数，则yf（x）因此不正确3设f（x）、g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f（x）g（x）f（

9、x）g（x）0，则当af（b）g（b）；f（x）g（a）f（a）g（x）；f（x）g（b）f（b）g（x）；f（x）g（x）f（a）g（a）解析由条件，得f（b）g（x）4函数f（x）x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f（x）m，则实数m的取值范围是_答案（7，）解析f（x）3x2x2，令f（x）0，得x或x1.可判断求得f（x）maxf（2）7.f（x）7.呈重点、现规律导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导

10、数来研究函数的各种方法.一、基础过关1函数f（x）ex（sin xcos x）在区间上的值域为_解析f（x）excos x0，f（0）f（x）f，f（x）e2使ysin xax在R上是增函数的a的取值范围为_答案1，）解析f（x）cos xa0，acos x，又1cos x1，a1.3已知函数f（x）（m2）x2（m24）xm是偶函数，函数g（x）x32x2mx5在（，）内单调递减，则实数m_.答案2解析由于f（x）（m2）x2（m24）xm是偶函数，则m240，m2.由于g（x）3x24xm0在（，）内恒成立，则1643m0，解得m0，函数f（x）x3ax在1，）上单调递增，则a的最大值为_

11、答案3解析由题意知，f（x）3x2a0（x1），a3x2，a3.6若函数yx3x2m在2,1上的最大值为，则m_.答案2解析y3x23x3x（x1）由y0，得x0或x1.f（0）m，f（1）m又f（1）m，f（2）86mm2，f（1）m最大，m，m2.7已知函数f（x）x3ax23x6，若x3是f（x）的一个极值点，求f（x）在0，a上的最值解f（x）3x22ax3，由已知得f（3）0，396a30.a5，f（x）x35x23x6.令f（x）3x210x30，得x1，x23.则当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表.3（3,5）56递增 递减 3递增21f（x）在0,5上的最大值为f（

12、5）21，最小值为f（3）3.二、能力提升8已知函数f（x）x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f（m）f（n）的最小值是_答案13解析对函数f（x）求导得f（x）3x22ax，由函数f（x）在x2处取得极值知f（2）0，即342a20，a3.由此可得f（x）x33x24，f（x）3x26x，易知f（x）在（1,0）上单调递减，在（0,1）上单调递增，当m1,1时，f（m）minf（0）4.又f（x）3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f（n）minf（1）9.故f（m）f（n）的最小值为13.9已知对任意实数x，有f（x）f（x），g（x）g（x），且当x0时

13、，有f（x）0，g（x）0，则当x0时，f（x）f（x），g（x）在（0，）上递增x0时，f（x）递增，g（x）递减0，g（x）10已知函数f（x）x3x，对任意的m2,2，f（mx2）f（x）0恒成立，f（x）在R上是增函数又f（x）f（x），yf（x）为奇函数由f（mx2）f（x）得f（mx2）f（x）f（x），mx2x，即mx2x0在m2,2上恒成立记g（m）xm2x，则解得211设函数f（x）xax2bln x，曲线yf（x）过P（1,0），且在P点处的切线斜率为2.（2）证明：f（x）2x2.（1）解f（x）12ax由已知条件得解得（2）证明因为f（x）的定义域为（0，），由（1）知

14、f（x）xx23ln x.设g（x）f（x）（2x2）2xx23ln x，则g（x）12x当00，当x1时，g（x）0时，g（x）0，即f（x）2x2.12已知aR，函数f（x）（x2ax）ex（xR）（1）当a2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1,1）上单调递增，求a的取值范围解（1）当a2时，f（x）（x22x）ex，所以f（x）（x22）ex.当f（x）0时，（x22）ex注意到ex所以x220，解得所以，函数f（x）的单调递增区间为（）同理可得，函数f（x）的单调递减区间为（，）和（，）（2）因为函数f（x）在（1,1）上单调递增，所以f（x）0在（1,1）上恒成

15、立又f（x）x2（a2）xaex，即x2（a2）xaex0，在（1,1）上恒成立，注意到ex因此x2（a2）xa0在（1,1）上恒成立，也就是ax1在（1,1）上恒成立设yx1，则y1即yx1在（1,1）上单调递增，则y0；当x0时，f（x）f（x）的增区间为（0，），减区间为（，0），f（x）极小f（0）1，无极大值（2）g（x）acos x，g（）a，a1.又g（b，612（b）180，b1，g（x）sin x1.（3）当x0时，sin x1mex，令h（x）sin x1mex，当m0与已知条件矛盾，首先证明sin xx在0，）恒成立令r（x）sin xx，则r（x）cos x10恒成立，r（x）为0，）上的减函数，r（x）r（0）0，sin xx，由（1）可知exx1，当m1时，h（x）sin x1mexx1mexexmex（1m）ex0，综上可得m1.