二次函数考点、知识点、例题(全).doc
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二次函数
命题点
年份
各地命题形式
考查频次
2015考查方向
二次函数的图象和性质
2014
云南（T12填）
填空1个
近3年考查2次，主要考查对图象的认识与性质的理解，预计2015年考查的可能性较大.
2013
昭通（T9选）
选择1个
确定二次函数的解析式
2014
昆明（T23解）,曲靖（T24解）
解答2个
高频考点：
近3年考查12次，主要考查求二次函数的解析式，一般出现在压轴题中，预计2015年考查的可能性很大.
2013
昆明（T23解），曲靖（T24解），大理（T23解），昭通（T25解），玉溪（T23解），普洱（T23解），德宏（T23解），红河（T23解），西双版纳（24解）
解答9个
2012
云南（T23解）
解答1个
考点1二次函数的概念
一般地，形如①（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点2二次函数的图象和性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
a
a＞0
a＜0
图象
开口方向
抛物线开口向②，并向上无限延伸
抛物线开口向③，并向下无限延伸
对称轴
直线x=-
直线x=-
顶点坐标
（-，）
（-，）
最值
抛物线有最低点，当x=-时，y有最小值，y最小值=
抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y最大值=
增减性
在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而④；在对称轴的右侧，即当x＞-a时，y随x的增大而⑤，简记左减右增
在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而⑥；在对称轴的右侧，即当x＞-时，y随x的增大而⑦，简记左增右减
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向⑧
|a|越大开口越⑩
a＜0
开口向⑨
b
b=0
对称轴为⑪轴
ab＞0（b与a同号）
对称轴在y轴⑫侧
ab＜0（b与a异号）
对称轴在y轴⑬侧
c
c=0
经过⑭
c＞0
与y轴⑮半轴相交
c＜0
与y轴⑯半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有交点（顶点）
b2-4ac＞0
与x轴有不同交点
b2-4ac＜0
与x轴交点
特殊关系
当x=1时，y=
当x=-1时，y=
若a+b+c＞0，即当x=1时，y0
若a+b+c＜0，即当x=1时，y0
考点4确定二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（最小值），可设所求二次函数为.
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），可设所求的二次函数为.
【易错提示】
（1）用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；
（2）所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c0的解集.
考点6二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题的步骤
（1）通过阅读理解题意；
（2）分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系；
（3）依据数量关系或图形的有关性质列出函数表达式；
（4）根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围；
（5）利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内.
1.二次函数y=（x-h）2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.
3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1二次函数的图象和性质
例1（2013·昭通）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A.a＞0B.3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
C.a＋b＋c＝0D.当x＜1时，y随x的增大而减小
方法归纳：
解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征，逐个排除不符合的选项.
1.（2014·上海）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）
A.y＝x2－1B.y＝x2＋1C.y＝（x－1）2D.y＝（x＋1）2
2.（2012·巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）
A.图象的开口向下B.当x>1时，y随x的增大而减小
C.当x<1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=－1
3.（2014·云南）抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.
4.（2014·珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为.
5.（2014·滨州）已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧），及△ABC的面积.
命题点2二次函数的图象与系数的关系
例2抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A.b2-4ac＜0B.abc＜0C.-＜-1D.a-b+c＜0
方法归纳：
解决此类问题应当了解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号判定的方法，同时还要观察对称轴x=.
1.（2014·黔东南）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2-4ac＞0.
其中正确结论的有（）
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
2.（2014·陕西）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A.c＞-1B.b＞0C.2a+b≠0D.9a+c＞3b
3.（2014·巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）
A.abc＜0B.-3a+c＜0
C.b2-4ac≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
命题点3确定二次函数的解析式
例3（2013·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：
当y>0时x的取值范围.
【思路点拨】
（1）通过正方形的边长得出点Ｂ，Ｃ的坐标，然后代入函数解析式列方程求解；
（２）求出函数图象与x轴的交点坐标，结合图象求解.
【解答】
方法归纳：
求二次函数的解析式，通常采用待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算.
1.（2013·安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.
2.（2014·宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2,0），B（0，-1）和C（4,5）三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
1.（2013·益阳）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是（）
A.（3，1）B.（3，-1）C.（-3，1）D.（-3，-1）
2.（2014·宿迁）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为（）
A.y=（x+2）2+3B.y=（x－2）2+3C.y=（x+2）2－3D.y=（x－2）2－3
3.（2013·泰安）设A（-2，y1）,B（1,y2）,C（2,y3）是抛物线y=-（x+1）2+m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为（）
A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1D.y2＞y1＞y3
4.（2014·东营）若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）
A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-2
5.（2014·毕节）抛物线y=2x2，y=-2x2,y=x2共有的性质是（）
A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小
6.（2014·黄石）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）
A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3
7.（2014·新疆）对于二次函数
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