钢管订购和运输求解1Word文件下载.docx
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3000
160
155
150
1单位钢管的铁路运价如下表：
里程（km）
≤300
301～350
351～400
401～450
451～500
运价（万元）
20
23
26
29
32
501～600
601～700
701～800
801～900
901～1000
37
44
50
55
60
注：
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点
，而是管道全线）。
（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。
（2）请就
（1）的模型分析：
哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按
（1）的要求给出模型和结果。
2、运费矩阵的计算模型
问题分析：
我们只考虑本题第一问的求解。
首先，所有钢管必须要运到天然气主管道铺设线上的节点
，然后才能向左或右铺设，因此，必须求出从每个钢管厂
（记为i=1,……,7）到每个节点
（记为j=1,……,15）的每单位钢管最小运费Cij（不妨称为运费矩阵）及其对应的运输方式和线路。
因为题目中没有给出装卸成本，我们简单假设总是采用最经济的运输方式，虽然这个铺设在实际中可能不太接近现实，也就是说，在运输过程中需要多次装卸也是允许的（如铁路转公路，再转铁路，等等）。
自然的想法是运输路线应该是走最短路径，但由于有两种运输和计价方式（铁路和公路），公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算），运费是路程的线性函数；
然而，铁路运费要通过运输里程查表得到，是一个阶梯函数。
这两种计价方式混合在一起，使得我们不能直接在整个铁路、公路混合的运输网络上计算最短路径作为运输路线，但可以分析分别在铁路、公路网上技计算最短路径，然后换算成相应的费用；
最后在整个网络上以两个子网上相应的运费为权，再求一次最短路问题，就可以把它们统一成一个标准的运费矩阵。
铁路子网络：
假设铁路运输线应该是走最短路径，而且采用连续路径计价方式一定优于分段计价方式（其实题中数据并不符合这一规定。
例如题中650km的运价为44万元，而分成300km和350km两段计价只需要43万元，这种情况不太符合实际，可能是每题时选择数据的疏忽，我们不过多考虑这种情况）。
这时，我们可以把铁路运输子网独立出来，在这个网络上计算任意两个节点i，j之间的最短路径长度dij1，然后按照这个最短路长度查铁路运价表得到最小费用Cij1。
在无向网络上求任意两点之间最短路径算法很多，尤其对本题这种弧上的权（距离）全为正数的情况，存在相对比较的算法。
例如，求任意两点之间最短路径的Floyd-Warshall算法是（可参阅网络优化的有关书籍）
（24）
这实际上是一种标号算法，其中n是网络节点数（节点编号为1,2,……,n）；
wij是给定的网络上相邻节点i,j之间的直接距离（i,j不相邻时取wij充分大就可以了）；
uij（k）可以看成是任意两个节点i,j之间距离的中间迭代值，（或称为临时编号），即从节点i到j但不允许经过其他节点k,k+1,……,n时的最短距离；
自然uij（k+1）就是i,j之间的最短距离（或称为永久标号），即dij1。
下面说明如何用LINGO软件求最短路。
对图中节点编号（除已经编号的节点si、Ai外，在增加编号B1……B17，如图所示）。
实际上如果令铁路运输子网以外的节点间的距离为充分大，就可以把整个铁路、公路网络放在一起考虑。
这样虽然增加了问题的规模，但对于最后将两个网络合并起来考虑是有利的。
所以我们采用这种想法来做。
对于本题，我们设这个充分大的数为BIG=20000（km），显然这已经足够大了。
相应的LINGO程序如下（简要解释参见程序中的注释语句）：
model:
!
铁路运输网的运费计算;
SETS:
!
NOTES表示节点集合;
NODES/S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,
A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12,A13,A14,A15,
B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8,B9,B10,B11,B12,B13,B14,B15,B16,B17/;
派生集合ROADS表示的是网络中的直接连接的道路（弧），
由于并非所有节点间都有道路直接连接，所以将弧具体列出，这是稀疏集合;
ROADS（NODES,NODES）/
要铺设的管道;
A1,A2A2,A3A3,A4A4,A5A5,A6A6,A7A7,A8A8,A9A9,A10A10,A11
A11,A12A12,A13A13,A14A14,A15
公路网;
B1,A2B2,A3B5,A4B4,A5B6,A6B7,A7S1,A7B8,A8B9,A9,B10,A10,
B11,A11B13,A12B15,A13S6,A14B16,A14B17,A15S7,A15
铁路网;
B1,B3B2,B3B3,B5B4,B6B6,B7B7,S1B5,B8B8,S1B8,S2B8,B9
B9,S3B9,B10B10,B12B12,B11B11,S5B12,S4B12,B14B14,B13
B14,B15B15,B16B16,S6B16,B17B17,S7
距离W0（i,j）是节点i到j的直接距离（已知）;
/:
W0;
属性W表示基本的权矩阵（直接距离，考虑对称性并增加对不相邻弧的考虑）,
D1（i,j）表示节点i到j的最优行驶路线的路长,
C1（i,j）表示节点i到j铁路运输的最小单位运价（万元）;
LINK（NODES,NODES）:
W,D1,C1;
属性U表示迭代过程的权矩阵（临时标号）;
NNN（Nodes,nodes,nodes）:
U;
ENDSETS
DATA:
针对铁路网计算时，将公路网的距离定为充分大（BIG=20000）;
BIG=20000;
W0=20000200002000020000200002000020000200002000020000
20000200002000020000
20000200002000020000200002000020000200002000020000
20000200002000020000200002000020000
4508011503061952011002021200720
6905201708846269016070
3201607029030;
输出费用C1到文本文件中，以备后用;
@TEXT（TrainCost.txt）=@writefor（nodes（i）:
@writefor（nodes（j）:
@format（c1（i,j）,'
5.0f'
））,@newline
（1））;
ENDDATA
CALC:
无向网络,根据给定的直接距离具有对称性，得到初始距离矩阵;
@FOR（LINK（i,j）|@IN（ROADS,i,j）:
W（i,j）=W0（i,j）;
W（j,i）=W0（i,j）;
）;
@FOR（LINK（i,j）|i#eq#j:
W（i,j）=0）;
所有无直接连接的节点间的距离定为充分大;
@FOR（LINK（i,j）|i#ne#j#and##not#@IN（ROADS,i,j）#and#
#not#@IN（ROADS,j,i）:
W（i,j）=BIG;
W（j,i）=BIG;
以下三个循环语句就是最短路计算公式（Floyd-Warshall算法）;
k=1的初值;
@FOR（NNN（i,j,k）|k#eq#1:
U（i,j,k）=W（i,j））;
迭代过程;
@For（nodes（k）|k#lt#@size（nodes）:
@FOR（LINK（i,j）:
U（i,j,k+1）=
@if（U（i,j,k）#le#U（i,k,k）+U（k,j,k）,
U（i,j,k）,U（i,k,k）+U（k,j,k））））;
最后一次迭代得到D1;
@FOR（NNN（i,j,k）|k#eq#@size（nodes）:
D1（i,j）=
U（i,j,k）,U（i,k,k）+U（k,j,k）））;
以下就是按最短路D1查找相应运费C1的计算公式;
@FOR（LINK|D1#eq#0:
C1=0）;
@FOR（LINK|D1#gt#0#and#D1#le#300:
C1=20）;
@FOR（LINK|D1#gt#300#and#D1#le#350:
C1=23）;
@FOR（LINK|D1#gt#350#and#D1#le#400:
C1=26）;
@FOR（LINK|D1#gt#400#and#D1#le#450:
C1=29）;
@FOR（LINK|D1#gt#450#and#D1#le#500:
C1=32）;
@FOR（LINK|D1#gt#500#and#D1#le#600:
C1=37）;
@FOR（LINK|D1#gt#600#and#D1#le#700:
C1=44）;
@FOR（LINK|D1#gt#700#and#D1#le#800:
C1=50）;
@FOR（LINK|D1#gt#800#and#D1#le#900:
C1=55）;
@FOR（LINK|D1#gt#900#and#D1#le#1000:
C1=60）;
@FOR（LINK|D1#gt#1000:
C1=60+5*@floor（D1/100-10）
+@if（@mod（D1,100）#eq#0,0,5））;
ENDCALC
end
其实，这个LINGO模型中的计算过程完全是在计算（CALC）段完成的，所以LINGO很容易就得到了结果，相应的费用存放在文本文件TrainCost.txt中，这是一个39行，每行39个数据的文件，即铁路运输费用。
为节省篇幅，我们这里略去这个文件的具体内容，但应注意，上面文件中，对应费用大于1000时，其实就等价于这两点无法仅仅通过铁路相互到达。
【20000km,费用1010万元，60+（20000-1000）*5/100=60+950=1010】
公路子网络
类似地，可以假设公路运输路线应该是走最短路径，把公路运输子网独立出来，在这个网络上计算任意两个节点i，j之间的最短路长度，然后按照这个最短路长度dij2乘以0.1得到最小运费Cij2。
（因为公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元）。
此时，上面的LINGO模型中除了将C1改为C2，D1改为D2外，主要还需作以下修改
（1）初始的直接距离W0需要修改，新的数据段为：
针对公路网计算时，将铁路网的距离定为充分大（BIG=20000）;
W0=104301750606194205201680480300
220210420500
326001051031124270
101062110302020
2000020000200002000020000200002000020000
2000020000200002000020000;
输出费用C2到文本文件中，以备后用（因为有小数，格式也变化了，否则一行太长）;
@TEXT（TruckCost.txt）=@writefor（nodes（i）:
c2（i,j）,@newline
（1）））;
（2）从距离转化成费用的语句需要修改为：
以下就是按最短路D2查找相应运费C2的计算公式;
@FOR（LINK:
C2=.1*D2）;
作以上修改后，用LINDO求解得到相应的费用，存放在文本TruckCost.txt中，这是一个1521行，每行一个数据的文件，即公路运输费用。
这个文件中，对应费用等于2000时，其实等价于这两点无法仅仅通过公路相互到达。
相应的LINGO程序如下
公路运输网的运费计算;
A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12,A13,A14,A15,
B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8,B9,B10,B11,B12,B13,B14,B15,B16,B17/;
属性W表示基本的权矩阵（直接距离）,
D2（i,j）表示节点i到j的最优行驶路线的路长,
C2（i,j）表示节点i到j公路运输的最小单位运价（万元）;
W,D2,C2;
输出费用C2到文本文件中，以备后用（因为有小数，格式也变化了）;
@FOR（LINK（i,j）|i#ne#j#and##not#@IN（ROADS,i,j）
#and##not#@IN（ROADS,j,i）:
D2（i,j）=
购运费用矩阵
在此基础上，就可以将以上两个子网络（需要分别看成两个完全子图）组合成一个网络，每条弧上相应的运费Cij1或Cij2为权（如果某条弧（i，j）上既有铁路运费Cij1，又有公路运费Cij2，只需取其中较小的一个即可）。
此时，再计算从每个钢管厂S1,S2……S7（记为i=1,2,……,7），到每个节点A1,A2,……,A15（记为j=1,2,……,15）的最短路，得到的就是每单位钢管的最小运费Cij.。
算法仍然可以采用Floyd-Warshall算法，完全类似地修改LINDO程序如下：
铁路公路混合运输网的运费计算;
B14,B15B15,B16B16,S6B16,B17B17,S7/;
属性W表示基本的权矩阵（由C1、C2得到）,
C1（i,j）表示节点i到j铁路运输的最小单位运价（万元）,
C2（i,j）表示节点i到j公路运输的最小单位运价（万元），
C（i,j）表示节点i到j混合运输的最小单位运价（万元）;
W,C1,C2,C;
读出前面刚刚计算得到的结果;
C1=@）;
C2=@）;
输出费用C到文本文件中，以备后用;
@TEXT（FinalCost.txt）=@writefor（nodes（i）|i#le#7:
@writefor（nodes（j）|j#ge#8#and#j#le#22:
@format（c（i,j）,'
6.1f'
得到初始距离矩阵;
W=@if（C1#le#C2,C1,C2））;
C（i,j）=
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