突破01 集合中的含参问题举一反三解析版Word格式.docx

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看是否满足集合中元素的特点：

互异性，以此来获得最终答案．

由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3}，

∴a2+2a﹣3＝5，即a2+2a﹣8＝0解得a＝2或﹣4，

又当a＝2时，B＝{5，2}不符合条件5∉B，所以a＝2不符合题意；

当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，所以a＝﹣4为所求．

故答案为a＝﹣4．

【练1.3】已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）

∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围．

【思路分析】将P（2，3）的坐标代入不等式从而求出m，n的范围即可．

将点（2，3）代入A中的不等式得到：

4﹣3+m＞0，解得：

m＞﹣1；

因为点（2，3）不在B中，

所以将点（2，3）代入B中的不等式得到：

2+3﹣n≤0不成立，

即2+3﹣n＞0，

解得：

n＜5．

【考查角度2集合中元素个数的含参问题】

此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.

第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；

第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；

要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.

【例2】若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．

【思路分析】根据集合中有一个元素a可知a是方程x2+ax+b＝x的根，建立等式关系，然后再

根据“仅有”，利用判别式建立等式关系，解之即可．

∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，

∴a2+a2+b＝a且△＝（a﹣1）2﹣4b＝0

解得a＝

，b＝

．

故a、b的值分别为

，

.

【练2.1】设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}

（1）当A中元素个数为1时，求：

a和A；

（2）当A中元素个数至少为1时，求：

a的取值范围；

（3）求：

A中各元素之和．

（1）推导出a＝0或

，由此能求出a和A．

（2）当A中元素个数至少为1时，a＝0或

，由此能求出a的取值范围．

（3）当a＝0时，A中元素之和为

；

当a＜1且a≠0时，A中元素之和为

当a＝1时，A中元素之和为﹣1；

当a＞1时，A中无元素．

（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素个数为1，

∴a＝0或

解得a＝0，A＝{

}或a＝1，A＝{﹣1}．

（2）当A中元素个数至少为1时，

a＝0或

，解得a≤1，

∴a的取值范围是（﹣∞，1]．

【练2.2】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．

（1）若A是空集，求a的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．

（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由

（1）

（2）的结论，将

（1）

（2）中a的取值并进来即可得到答案．

（1）若A是空集，

则方程ax2﹣3x+2＝0无解

此时△＝9﹣8a＜0

即a＞

（2）若A中只有一个元素

则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根

当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件

当a≠0，此时△＝9﹣8a＝0，解得：

a＝

∴a＝0或a＝

若a＝0，则有A＝{

}；

若a＝

，则有A＝{

（3）若A中至多只有一个元素，

则A为空集，或有且只有一个元素

由

（1），

（2）得满足条件的a的取值范围是：

a＝0或a≥

【练2.3】已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}．

（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；

（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．

（1）讨论当a＝0和a≠0时对应的条件．

（2）根据A中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．

（1）若A中恰好只有一个元素，则方程ax2﹣2x+1＝0只有一个解．

当a＝0时，方程ax2﹣2x+1＝0等价为﹣2x+1＝0，即x＝

，满足条件．

当a≠0，判别式△＝4﹣4a＝0，解得a＝1．

所以a＝0或a＝1．

（2）若A中至少有一个元素，则由

（1）知，当集合只有一个元素时a＝0或a＝1．

当集合A有2个元素时，满足条件a≠0且△＝4﹣4a＞0，解得a＜1且a≠0．

综上实数a的取值范围a≤1．

【考查角度3集合基本关系中的含参问题】

由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程（组）或不等式（组）求解.

第1步确定两个集合中谁是谁的子集;

第2步，若集合是有限极或离散型无限极，常依据集合间的包含关系，转化为解方程（组）求解，若集合是连续型无限极，常借助数轴转化为不等式（组）求解;

第3步，综合各分类讨论的结果，得到最终参数的取值;

要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.

【例3】已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．

（1）求A∪B；

（2）若A⊆C，求a的取值范围．

（1）根据集合的基本运算即可求A∪B；

（2）根据A⊆C，数形结合即可求实数a

的取值范围．

（1）集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，借助于数轴和集合并集的定义知A∪B＝{x|2＜x＜10};

（2）若A⊆C，集合C中包含集合A的所有元素，由数轴可知：

a≥7；

故答案为：

（1）A∪B＝{x|2＜x＜10}；

（2）若A⊆C，a的取值范围是{a|a≥7}；

【练3.1】设集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．

（1）当a＝0时，求集合A，B；

（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围．

（1）由二次不等式的解法得：

A＝

，B＝

（2）由集合间的包含关系及空集的定义得：

讨论①A＝∅，即2a≤a﹣1，即a≤﹣1，符合题意，②A≠∅，有

，解得：

﹣1＜a≤2，综合①②得：

a≤2，得解

（1）当a＝0时，A＝

解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：

﹣2＜x＜4，即B＝

（2）若A⊆B，则有：

①A＝∅，即2a≤a﹣1，即a≤﹣1，符合题意，

②A≠∅，有

﹣1＜a≤2，

综合①②得：

a≤2

【练3.2】方程x2﹣x﹣m＝0在（﹣1，1）上有解．

（1）求满足题意的实数m组成的集合M；

（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若M⊆N，求a的取值范围．

（1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域即可

（2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N，结合集合关系进行求解即可

（1）∵x2﹣x﹣m＝0在（﹣1，1）上有解．

∴x2﹣x＝m在（﹣1，1）上有解．

设f（x）＝x2﹣x＝（x﹣

）2﹣

∵﹣1＜x＜1，∴最小值为﹣

最大值为f（﹣1）＝2，即﹣

≤f（x）＜2，

即﹣

≤m＜2

（2）当a＝1时，解集N为空集，不满足题意．

当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N＝（2﹣a，a），若M⊆N

则

，解得a＞

当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N＝（a，2﹣a），若M⊆N

，解得a＜﹣

综上，a＞

或a＜﹣

【练3.3】已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．

（Ⅰ）若4∈A，5∉A，求a的取值范围；

（Ⅱ）若A⊆B，求a的取值范围．

（1）由题意知，4∈A，5∉A，代入A集合得a的取值范围

（2）先讨论两根大小得B集合，再由包含关系得a的取值范围

【答案】

（Ⅰ）因为4∈A，所以2a≤4≤a2+1，解得a≤﹣√3或√3≤a≤2．

若5∈A，2a≤5≤a2+1，解得a≤﹣2或2≤a≤

又5∉A，所以﹣2＜a＜2或a＞

故﹣2＜a≤﹣√3或√3≤a＜2．

（Ⅱ）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0

当3a+1＝2，即a＝

时，B＝{2}，不合题意．

当3a+1＜2，即a＜

时，

，解得a＝﹣1．

当3a+1＞2，即a＞

，解得1≤a≤3．

综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．

【考查角度4集合基本运算中的含参问题】

这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.

第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;

第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;

第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.

要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.

【例4】已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}

（1）求A∩B，（∁RA）∪B；

（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．

（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；

（2）由B∩C＝C知C⊆B，讨论m的取值情况，求出满足条件的m取值范围．

（1）集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，

∴A∩B＝{x|2≤x＜5}，

∁RA＝{x|﹣3＜x＜2}，

∴（∁RA）∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；

（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，

又C＝{x|m﹣1≤x≤2m}，

①当C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；

②当C≠∅时，

，2＜m＜

【练4.1】已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜5}，C＝{x|x＜m}，全集为R．

（1）求A∩（∁RB）；

（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．

（1）进行补集、交集的运算即可；

（2）可求出A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}，根据（A∪B）⊆C即可得出m≥5，即得出m的范围．

（1）∁RB＝{x|x＜0，或x≥5}；

∴A∩（∁RB）＝{x|﹣3＜x＜0}；

（2）A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；

∴（A∪B）⊆C；

∴m≥5；

【练4.2】设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≥0}，B＝{x||x﹣6|＜6}．

（Ⅰ）求A∩∁RB；

（Ⅱ）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C∪B＝B，求实数a的取值范围．

（Ⅰ）由二次不等式的解法、绝对值不等式的解法得：

A＝{x|x≤﹣3或x≥6}，B＝{x|0＜x＜12}，由集合的交、并、补运算得：

∁RB＝{x|x≤0或x≥12}，即A∩∁RB＝{x|x≤﹣3或x≥12}，

（Ⅱ）由集合间的包含关系得：

因为C∪B＝B，即C⊆B，讨论①若C＝φ时，②若C≠φ时，即可得解．

（Ⅰ）解二次不等式（x+3）（x﹣6）≥0得：

x≤﹣3或x≥6，

即A＝{x|x≤﹣3或x≥6}，

解绝对值不等式|x﹣6|＜6得：

0＜x＜12，

即B＝{x|0＜x＜12}，

所以∁RB＝{x|x≤0或x≥12}，

所以A∩∁RB＝{x|x≤﹣3或x≥12}，

{x|x≤﹣3或x≥12}；

（Ⅱ）因为C∪B＝B，即C⊆B

①若C＝φ时，即2a≥a+1即a≥1满足题意．

②若C≠φ时，2a＜a+1即a＜1，

若C⊆B，则

，即0≤a≤11，

又a＜1，

所以0≤a＜1，

综合①②可得：

实数a的取值范围为：

a≥0，

a≥0．

【练4.3】已知全集U＝R，集合A＝{x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，B＝{x|﹣2﹣x≤0≤5﹣x}．

（1）求A∩B，B∪（∁UA）．

（2）已知集合C＝{x|a≤x≤2﹣a}，若C∪（∁UB）＝R，求实数a的取值范围．

（1）可解出A＝{x|2＜x＜9}，B＝{x|﹣2≤x≤5}，然后进行交集、补集和并集的运算即可；

（2）可得出∁UB＝{x|x＜﹣2，或x＞5}，这样根据C∪（∁UB）＝R即可得出

，解出a的范围即可．

（1）A＝{x|2＜x＜9}，B＝{x|﹣2≤x≤5}；

∴A∩B＝{x|2＜x≤5}，∁UA＝{x|x≤2，或x≥9}，B∪（∁UA）＝{x|x≤5，或x≥9}；

（2）∁UB＝{x|x＜﹣2，或x＞5}，C＝{x|a≤x≤2﹣a}，且C∪（∁UB）＝R；

∴

解得a≤﹣3；

【趁热打铁】

1.已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，求x的值．

【思路分析】由已知2是集合M的元素，分类讨论列出方程，求出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素需满足互异性．

当3x2+3x﹣4＝2时，3x2+3x﹣6＝0，x2+x﹣2＝0，

x＝﹣2或x＝1．经检验，x＝﹣2，x＝1均不合题意．

当x2+x﹣4＝2时，x2+x﹣6＝0，x＝﹣3或2．经检验，x＝﹣3或x＝2均合题意．

∴x＝﹣3或x＝2．

2.已知不等式3x+2＞0的解集为M．

（1）试判断元素﹣1，0与集合M的关系；

（2）若a﹣1是集合M中的元素，求a的取值范围．

（1）据题意即可得出，从而可判断元素﹣1，0和集合M的关系；

（2）若a﹣1是集合M的元素，则a满足

（1）

∴﹣1∉M，0∈M；

（2）∵a﹣1∈M；

3.已知集合M＝{x∈R，|px2﹣2x+3＝0，x∈R}．

（1）若M中只有一个元素，求实数p的值，并求出相应的集合M；

（2）若M中最多有一个元素，求实数p的取值范围．

（1）当p＝0时，解得x＝

，符合题意，当p≠0时，只需△＝0，求解即可得答案；

（2）M中最多有一个元素包括M中只有一个元素和M空集两种情况，分类讨论即可求得答案．

（1）若M中只有一个元素，当p＝0时，原方程化为﹣2x+3＝0，解得x＝

，符合题意，

当p≠0时，只需△＝4﹣12p＝0，即p＝

，由

x2﹣2x+3＝0，解得x＝3，即M＝{3}．

当p＝0时，M＝{x|

}，

综上，p＝

时，M＝{3}或p＝0时，M＝{

}．

（2）若M中最多有一个元素，当p＝0时，解得

当p≠0时，△≤0，即4﹣12p≤0，解得p≥

综上，实数p的取值范围为：

p＝0或p≥

4.已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}，a为实数．

（2）若A是单元素集，求a的值；

（1）解集是空集，即方程无解，所以判别式小于零；

（2）分a＝0与a≠0两种情况讨论；

（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可．

【答案】解

（1）若A＝Φ，则只需ax2+2x+1＝0无实数解，显然a≠0，所以只需△＝4﹣4a＜0，即a＞1即可．

（2）当a＝0时，原方程化为2x+1＝0解得x＝﹣

当a≠0时，只需△＝4﹣4a＝0，即a＝1，故所求a的值为0或1；

（3）综合

（1）

（2）可知，A中至多有一个元素时，a的值为0或a≥1．

【点评】本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．

5.已知命题A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝

（1）若A∩B＝（2，4），求m的值；

（2）若B⊆A，求m的取值范围．

【思路分析】分别化简得A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|m﹣3＜x＜m}．

（1）由A∩B＝（2，4）可得m﹣3＝2且m≥4，解出即可．

（2）由B⊆A，即

，解得即可．

化简得A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|m﹣3＜x＜m}．

（1）∵A∩B＝（2，4），∴m﹣3＝2且m≥4，则m＝5．

（2）∵B⊆A，即

，解得1≤m≤4．

∴m的取值范围是1≤m≤4．

6.已知集合M＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，N＝{x|1＜x＜3}，且M⊊N，求实数a的取值范围．

【思路分析】由题意可知，M＝{x|（x﹣a）（x﹣1）＜0}且M⊆N，分类讨论①当M＝∅时，②当M≠∅时，分别进行求解

由题意可知，M＝{x|（x﹣a）（x﹣1）＜0}

∵N＝{x|1＜x＜3}，且M⊆N，

①当M＝∅时，a＝1，满足题意

②当M≠∅时，由M⊆N，可知M＝{x|1＜x＜a}

∴1＜a＜3

综上可得，实数a的取值范围{a|1≤a＜3}

7.已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}

（1）当a＝0时，求A∪B；

（2）若B⊆（A∩B），求实数a的取值范围．

（1）根据集合的基本运算及a＝0即可求A∪B，

（2）根据B⊆（A∩B），则有：

B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤1}

（1）当a＝0时，有：

A＝{x|﹣1＜x＜3}，

A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}∪{x|﹣2≤x≤1}＝{x|﹣2≤x＜3}；

（2）若B⊆（A∩B），则有：

B⊆A，

所以：

a﹣1＜﹣2，且a+3＞1；

﹣2＜a＜﹣1；

实数a的取值范围是：

{a|﹣2＜a＜﹣1}．

8.已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣3≤x＜5}，B＝{x|a+1＜x≤2a﹣1}

（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围

（2）若B≠∅，（∁UA）∩（∁UB）＝∁UA，求a的取值范围

（1）根据题意，分2种情况讨论：

①，当a+1≥2a﹣1，即a≤2时，此时B＝∅，满足A∩B＝∅，②，当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，B≠∅，有a+1≥5或2a﹣1＜﹣3，求出a的取值范围，综合即可得答案；

（2）根据题意，先利用B≠∅可得a+1＜2a﹣1，由集合的包含关系可得（∁UA）∩（∁UB）＝∁UA，则∁UA⊆∁UB，即B⊆A，思路分析可得a+1≥﹣3或2a﹣1＜5，解可得a的取值范围，综合即可得答案．

（1）分2种情况讨论：

①，当a+1≥2a﹣1，即a≤2时，此时B＝∅，满足A∩B＝∅，

②，当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，有a+1≥5或2a﹣1＜﹣3，

解可得a≥4，

综合可得：

a≤2或a≥4；

（2）若B≠∅，则有a+1＜2a﹣1，解可得a＞2；

若（∁UA）∩（∁UB）＝∁UA，则∁UA⊆∁UB，即B⊆A，

则有a+1≥﹣3或2a﹣1＜5，

解可得：

2＜a＜3．