二次函数压轴题分类整理.doc

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一、二次函数与平行四边形

例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． 

（1）抛物线及直线AC的函数关系式； 

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； 

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

例1解：

（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

解得，故直线AC为y=x+1； 

（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），

由

（1）得D（1，4），故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，

当M（3，m）在直线DN'上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×3+=；

（3）由

（1）、

（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）， 

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）， 

∵F在抛物线上， ∴x+3=﹣x2+2x+3， 解得，x=0或x=1（舍去） ∴E（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）

由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=

∴E（，）或（，）

综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），

则P（x，-x2+2x+3） ∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+∴面积的最大值为．

练习1：

（2007义乌）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

练习1解：

解：

（1）令y=0，解得或（1分）

∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）

将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）（1分）

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：

x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：

P（x，-x-1），（1分）

E（（1分）

∵P点在E点的上方，PE=（2分）

∴当时，PE的最大值=（1分）

（3）存在4个这样的点F，分别是

①如图①

，当CG∥AF时，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②

①

②如图②，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图③，当AC∥FG时，由△GFN≌△CAM可得GN=CM=3，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由FN=AM=3,OF=1++3=4+，所以F的坐标为（4+，0）；

④如图④，同③可求出F的坐标为（4-，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

④

③

练习2、（2009湖州）已知抛物线y=x2－2x+a（a＜0）与轴相交于点，顶点为.直线y=0.5x－a分别与x轴，y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.

（1）填空：

试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（,）,N（,）；

（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.

第

（2）题

x

y

B

C

O

D

A

M

N

N′

x

y

B

C

O

A

M

N

备用图

练习2解：

（1）.……………4分

（2）由题意得点与点′关于轴对称，，

将′的坐标代入得，

（不合题意，舍去），.……………2分

，点到轴的距离为3.

，，直线的解析式为，

它与轴的交点为点到轴的距离为.

.……………2分

第

（2）题

x

y

B

C

O

D

A

M

N

N′

x

y

B

C

O

A

M

N

P1

P2

备用图

（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，

把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，

得：

（不舍题意，舍去），，

.……………2分

当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，

．

与关于原点对称，，

将点坐标代入抛物线解析式得：

，

（不合题意，舍去），，．……………2分

存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．

二、二次函数与相似三角形

y

x

O

C

B

A

D

图1

例2、[09辽宁十二市]已知：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：

如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，

W是否有最大值？

如果有，求出W的最大值和此时t的值；

如果没有，说明理由；

探究二：

如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC

相似？

如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

图2

y

x

O

C

B

A

D

例2解：

（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．

y

x

O

C

B

A

D

M

P

∴，∴，∴．∴．

（2）探究一：

当时，有最大值．

∵抛物线交轴于两点，交轴于点，

∴，，，∴．

当时，作轴于，则．

∵，∴．

∵

∴∴当时，有最大值，．

探究二：

存在．分三种情况：

①当时，作轴于，则，

∴．∴，，

∴．

y

x

O

C

B

A

D

M

P1

E

P2

∵轴，轴，∴，∴，

∴．∴，．

此时，又因为，

∴，∴，∴．

∴当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2）．

②当时，则，∴，∴．

∵，∴．∴与不相似，此时点不存在．

③当时，以为直径作，则的半径，圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．不存在点，使．∴综上所述，只存在一点使与相似．

练习3:

（07临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

第26题图

图1

图2

图1

练习3：

解：

⑴由题意可设抛物线的解析式为

∵抛物线过原点，∴∴.

抛物线的解析式为,即

⑵如图1,当四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,

得,∴B（4,0）,OB＝4.∴D点的横坐标为6.将x＝6代入,

得y＝－3,∴D（6,－3）;根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为（－2,－3）,当四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为（2,1）

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:

AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO

设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′（2,－1）

图2

∴直线OP的解析式为

由,得.∴P（6,－3）

过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,

∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,

∴△PBO与△BAO不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

练习4、矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，直线与边相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；

（3）设

（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．

y

O

C

D

B

6

A

x

练习4、解：

（1）点的坐标为． （2分）

（2）抛物线的表达式为． （4分）

（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．

y

O

C

D

B

6

A

x

A

M

P1

P2

∵，

∴．

∵，

∴． （6分）

∵抛物线的对称轴，

∴点的坐标为． （7分）

过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．

∵对称轴平行于轴，

∴．

∵，

∴． （8分）

∴点也符合条件，．

∴，

∴． （9分）

∴．

∵点在第一象限，

∴点的坐标为，

∴符合条件的点有两个，分别是，． （11分）

练习5、（09长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0））的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3,0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

y

O

x

C

N

B

P

M

A

（3）在

（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B,N,Q为项点的三角形与△ABC相似？

如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．