二次函数压轴题(精华版).doc

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2016年10月26日二次函数压轴题1

一．解答题（共30小题）

1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．

（1）求a，b的值；

（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

2．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

3．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．

（3）在

（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？

若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3），．

（1）求二次函数和一次函数的解析式；

（2）若点P在第四象限内的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标．

6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．

7．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上

（1）求A点的坐标；

（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？

若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．

8．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点C为抛物线与y轴的交点．

（1）求函数的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；

（3）设点Q为线段AC上的动点，作QO⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上的点，且CD∥x轴，点E是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将△BCD的面积分为相等的两部分？

（3）点F在线段CD上，若以点C，E，F为顶点的三角形与△COE相似，试求点F的坐标．

10．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标．

11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（﹣2，n）也在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）连接AD交BC于点F，试问：

以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

请说明理由．

12．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；

（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；

（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

13．已知：

如图所示，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？

并求出所有点P的坐标；

（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）若抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；

（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．

16．如图，二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A和点B（1，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）求点A的坐标；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值；

（3）在P，Q运动过程中，求当△DPE与以D，C，Q为顶点的三角形相似时t的值；

（4）是否存在t，使△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，点C′恰好落在抛物线的对称轴上？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1：

2？

若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？

最大值为多少？

（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？

19．如图，二次函数y=﹣x2﹣+3（其中m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD，过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．

（1）求点C的坐标；

（2）求证：

为定值；

（3）二次函数y=﹣x2﹣+3的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G，试说明：

以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？

请说明理由．

20．如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣3），过点B，C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D，E（D在E的左侧），直线DC与线段AB交于点F．

（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；

（2）求点F的坐标；

（3）如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q．设点P的运动时间为t秒．

①当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？

若能，求出相应的t的值；若不能，说明理由；

②当0≤t≤4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．

21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣4a与直线y=﹣x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交另一点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D′坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求△ABP的面积．

22．如图，点P是直线l：

y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A，B两点．

（1）若直线m的解析式为y=﹣x+2，求P，A，B三点的坐标；

（2）若点P的坐标为（﹣2，2），当PA=PB时，求点A的坐标；

（3）求证：

对于直线l上任意一点P，在抛物线上都能找到两个不同位置的点A，使得PA=PB成立？

23．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0），且与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．

（1）求点C、D的坐标（用含a的式子表示）；

（2）当a变化时，△ACD能否为直角三角形？

若能？

求出所有符合条件的a的值；若不能，请说明理由．

24．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否一定成立？

说出你的理由；

②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），过A、C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）若M为线段OB上的一个动点，过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形ACNB的面积最大？

求出此时点M的坐标及四边形ACNB面积的最大值？

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求A点和顶点C的坐标；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于

（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大？

若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请