二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题.doc
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二次函数与一元二次方程教学案
二次函数与一元二次方程之间的联系
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
例:
二次函数y=x2-3x+2与x轴有无交点?
若有,请说出交点坐标;若没有,请说明理由:
⑵根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑶二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
总结:
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与
轴交点的.
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下:
(一元二次方程的实数根记为)
二次函数
与
一元二次方程
与轴有个交点
0,方程有的实数根是.
与轴有个交点
这个交点是点
0,方程有的实数根是.
与轴有个交点
0,方程实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是.
经典例题讲解
【例1】
已知:
关于的方程.
⑴求证:
取任何实数时,方程总有实数根;
⑵若二次函数的图象关于轴对称.
①求二次函数的解析式;
②已知一次函数,证明:
在实数范围内,对于的同一个值,这两个函数所对应的函数值均成立;
⑶在⑵条件下,若二次函数的图象经过点,且在实数范围内,对于的同一个值,这三个函数所对应的函数值,均成立,求二次函数的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。
第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。
事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线,只有一个公共点(1,0)。
根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。
于是通过代点,将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解:
(1)分两种情况:
当时,原方程化为,解得,(不要遗漏)
∴当,原方程有实数根.
当时,原方程为关于的一元二次方程,
∵.
∴原方程有两个实数根.(如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?
再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)
综上所述,取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于的二次函数的图象关于轴对称,
∴.(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0)
∴.
∴抛物线的解析式为.
②∵,(判断大小直接做差)
∴(当且仅当时,等号成立).
(3)由②知,当时,.
∴、的图象都经过.(很重要,要对那个等号有敏锐的感觉)
∵对于的同一个值,,
∴的图象必经过.
又∵经过,
∴.(巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
设.
∵对于的同一个值,这三个函数所对应的函数值均成立,
∴,
∴.
又根据、的图象可得,
∴.(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)
∴.
∴.
而.
只有,解得.
∴抛物线的解析式为.
【例2】关于的一元二次方程.
(1)当为何值时,方程有两个不相等的实数根;
(2)点是抛物线上的点,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点与点关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析式,比较简单。
值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】:
(1)由题意得
解得
解得
当且时,方程有两个不相等的实数根.
(2)由题意得
解得(舍)(始终牢记二次项系数不为0)
(3)抛物线的对称轴是
由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)
另设过点的直线()
把代入,得,
整理得
有且只有一个交点,
解得
综上,与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有,
【例3】已知P()和Q(1,)是抛物线上的两点.
(1)求的值;
(2)判断关于的一元二次方程=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由;
(3)将抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位,使平移后的图象与轴无交点,求的最小值.
【例4】
已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.
(1)求的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在
(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:
当直线
与此图象有两个公共点时,的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
解:
(1)由题意得,.
∴.
∵为正整数,
∴.
(2)当时,方程有一个根为零;
当时,方程无整数根;
当时,方程有两个非零的整数根.
综上所述,和不合题意,舍去;符合题意.
当时,二次函数为,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为.
A
O
x
y
8
6
4
2
2
4
B
(3)设二次函数的图象与轴交于
两点,则,.
依题意翻折后的图象如图所示.
当直线经过点时,可得;
当直线经过点时,可得.
由图象可知,符合题意的的取值范围为.