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我们首先需要建立影子长度变化的数学模型，分析各参数变化对影长的影响，并将此模型应用到实例中得到影长的变化曲线。
然后需要针对已知若干太阳影子顶点坐标，有、无测量时的日期的两种情况，分别建立数学模型求解出直杆若干个可能的地点与日期。
最后，我们需要根据一已知杆高的直杆影子变化的视频，建立数学模型，求出可能的拍摄地点，并探讨是否能据此也求出拍摄日期。
2.模型假设
1.准确性假设：
假设视频中视场固定不动，可根据对视频处理，得到真实数据集相应的影长等物理量信息；
2.排他性假设：
●不考虑其他天体影响；
●忽略大气对太阳光的折射；
●忽略海拔对太阳高度角的影响；
3.合理性假设：
●假设直杆周围无建筑物阻挡太阳光的照射；
●假设太阳系为一个近似球体，且地球与近似球体为同一球心；
●假设太阳绕地球在近圆形的椭圆轨道上运行。
3.符号系统
符号：
时角
t时间数
A方位角
（h）太阳高度角
α：
赤纬角
β：
太阳高度角
γ：
太阳方向角
δ：
纬度
：
经度
X0,Yo:
影子顶点位置
n:
24h制的时间数
t:
太阳某位置的方位时间
直杆所在地的地理纬度
L:
根据视角公式:
5.问题一的建模与求解
假设:
1.假设太阳系为一个近似球体，且地球与近似球体为同一球心；
2.假设太阳绕地球在近圆形的椭圆轨道上运行；
3.
（需说明X-Y坐标对应的方向，且说明其的方向设置对结果没有影响）
5.1模型准备
直杆影子形成原理
一根直杆，其影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化。
假设某天某时刻的太阳位置如图1所示，。
直杆垂直于地面立于地面上的杆高为H，太阳光线通过杆顶P点，在地面上形成一个影子点P‘，影子的长度OP‘为L。
定义直杆影子端点P’的坐标为（X0,Y0）,地面的夹角为（），则其数学关系式为【1】：
又据勾股定理，L=开根号（X0^2+Y0^2）,
二式联立得，
说明：
坐标系以直杆底端为原点，水平地面为xy平面。
在未特别说明的情况下，默认为y轴对应正北方向，x轴对应正东方向。
（图需改进）
天球坐标系统的统一建立
又杆所受的日照变化情况，是由地球自转及绕太阳公转引起的。
以杆顶在阳光下产生的影子端点移动的轨迹，代替太阳运行轨迹。
运用相对运动原理，将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动，太阳绕地球转动的系统。
各角度参数的关系可由图
（2）反映。
赤道坐标系——赤纬角和时角地平坐标系——太阳高度角和太阳方向角
5.3模型的建立
由文献可知，太阳位置点L在天体中相对地球位置0上某一点的相对位置，由该点的地理纬度、季节（月、日）和时间3个因素决定。
通常用以太阳高度角h、方位角、赤纬角以及时角来表示太阳的相对位置参数。
故我们可用太阳位置参数以及式
（1）来表示直杆影子的顶点坐标轨迹。
我们可得到如下的计算公式：
赤纬角计算公式：
【2】
时角公式【3】
为方便计算处理，在建模过程中全部用弧度表示，因此将上式改写为：
太阳高度角公式：
【3】
太阳方位角公式：
从图一我们可列出直杆影子端点P’（，）与太阳方向角（）的数学关系式：
据此，联立（）~（）式，我们可以建立由太阳位置坐标（），直杆高度H与直杆影子端点坐标构成的数学模型：
5.4模型的求解
5.4.1影子长度变化与相关参数的分析
为探究直杆的影子长度关于各个参数的变化规律，我们利用控制变量法，分别讨论当其他参数一定的情况下，得到影子关于该参数的变化情况。
现在假设经度（）=，纬度（）=，杆高H=3m，本文观测日期为10月22日，时间为正午12点。
经度与影子长度变化的关系：
保证其他变量一定，结合问题一中的数学模型。
改变地方经度的取值，使其在东经30度至西经150度之间变化。
用matlab进行计算，根据计算结果绘制出地方经度与影子长度的变化规律如图（）
结论：
可知在该地理位置的经度处影长最大，往东西两边都逐渐减小。
纬度与影子长度变化的关系：
改变地方纬度的值，使其在南极点到北极点之间变化。
利用matlab进行计算，根据计算结果绘制出地方纬度与影子长度的变化规律如图（）
由于日期选定的影响，可知在南半球某处的太阳直射点处影长最小，以点为基准往南、往北影长逐渐增加。
日期与影子长度变化的关系：
改变地方日期的取值，使其在1月1日至12月31日之间变化。
用matlab进行计算，根据计算结果绘制出日期与影子长度的变化规律如图（），图中横坐标的0代表取的是一年中的第一天。
杆高与影子长度变化的关系：
改变杆高的取值，使其在1m至10m间变化。
用matlab进行计算，根据计算结果绘制出杆高与影子长度的变化规律如图（），图中横坐标的0代表取的是一年中的第一天。
可得出杆高与影长成线性增大关系。
5.4.2模型应用
利用所建立的直杆影子短点的轨迹模型，我们将求得2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
确定相关参数
由题意可得，经度（）=，纬度（）=，杆高H=3m，t的取值为：
9.0h~15.0h，将日期带入公式（）~（）,算得当天的赤纬角（）=-11.1182度。
模型求解
利用matlab软件，可绘制出太阳影子端点的轨迹图以及太阳影子长度的变化曲线，如图
（2）所示：
1.太阳影子变化曲线关于t=12h对称；
2.随着时间的推移，在上午9时到下午15时之间，影子长度由长变短，达到最小值时，再逐渐变长；
3.影子长度的变化范围为：
3.7m~6.7m，且分别在t=12时处取得影长最小值，t=9h,12h处取得最大值。
【1】基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究
【2】太阳直射点纬度的数学推导和分析_蒋洪力
6.问题二的建模与求解
6.1模型一：
构建影子的顶点非线性方程组
6.1.1模型的建立
由题意，现在已知太阳影子顶点坐标以及测量日期，因此我们对问题一中的所建立的模型中的方程进行选取和处理：
对模型一中的（5）式子进行变换，得
再联立
（2）、（7）式，有
（8）
本文将式（8）定义为经纬度综合方程，这是该模型的核心。
附件一中提供了21组太阳影子顶点的坐标值。
又由于该方程式含有两个未知参数，因此随机选取附件1两个坐标数据构成一个由两个非线性方程构成的二维非线性方程组。
6.1.2模型的求解
由于是对21组坐标数据的随机选取构成的方程组，又需保证每组数据对于模型的有效性。
因此，据排列组合原理，可得到C212=210个非线性方程组。
利用matlab的fsolve函数，对这210组方程进行求解。
再考虑到X-Y坐标系方向与实际地理方向的对应关系，可得到再原来基础上一倍数量的解。
利用matlab，将所求的经纬地理坐标的可能解都在图（）上显示出来。
就某一个非线性方程组而言，所选取的函数初值与其对应结果关系的部分如下表：
Fsolve函数初值对应结果
（0.1，0.5）（75.22E，14.23N）（70.35E，16.68N）
（-0.1，-0.5）（117.68E，8.38N）（113.17E，6.03N）
（-0.1，0.5）（72.31，9.54N）（76.21E，7.83N）
（做成表）
1.从上图可反映所有可能解的分布空间范围比较广泛，无法得到具有代表性的可能解；
2.从上表可反映求解非线性方程组时，所求解受初值影响较大。
综上所述，该模型的可调性较差，所求解准确度较低。
因此，为更加精确地求出直杆所在的地理位置，我们在下文将引进纬度联合求解模型。
6.2模型二：
经纬度联合求解模型
6.2.1模型的建立
数据的预处理
对附件1的时刻，以14：
42为记录起点换算成时间。
对太阳影子顶点的坐标值，利用勾股定理，转换成对应时刻的长度Z（T）。
利用matlab参数求解，得到趋势曲线：
（图）
结合文献【1】可求得该趋势曲线的数学表达式为：
Z（T）=0.1489T^2-3.752T+24.13
直杆经度的确定
直杆影子最短时间
可认为是北京时间，即东经120度的地方。
根据公式：
。
对上式求极值，可得
=12.5991（h）。
因此利用公式算得该地点时间上落后北京时间0.5991小时，则该点经度为：
W-0.5991*Ω=110.014度
其中，W为东经120°
经线的地方平太阳时。
直杆纬度的确定
将得到的经度值代入式（8）经纬度综合方程，即可将非线性二元方程组转变为,只含一个未知参量的非线性方程。
再考虑到X-Y坐标系方向与实际地理方向的对应关系。
6.2.2模型的求解（改）
经过聚类分析，得出可能的解
印尼（110.01E，4.85S）
屯昌（110.01E，19.38N）
琼海（110.01E,19.28N）
7.问题三的建模与求解
7.1问题分析
问题三与问题二的区别，即在于缺少了测量日期的条件。
又问题二中的初始模型建立了一个二元非线性方程组，问题二中的改进模型通过结合影子长度与时间关系式，使方程组转化为了一个二元非线性的方程组。
又因问题三缺少了一个已知量，故问题三模型的建立与求解即又转化成了一个二元非线性方程组。
因此我们可继续利用问题二求解的思想，将问题二中建立的两个模型统一结合起来。
7.2非线性方程组的求解
7.2.1数据预处理
与问题二中的数据预处理方法一致，对附件2的顶点坐标数据，利用影长-时间关系，确定时角Ω以减少综合方程的未知参量。
即同理得，Z1（T）=0.09814T^2-2.985T+23.32
同样由Z1求导取极值，得到北京时间
=15.2079（h）进而算得经度为81.88E度。
7.2.2结合遗传算法的初值确定
算法描述
由于问题二中的模型一受初值影响大，为提高精确度，同时考虑不漏解，引入遗传算法的种群和适应度概念，确定函数初值。
种群【1】
种群是非线性方程组合理初值和多解求解的基础。
它由在非线性方程组解空间内随机生成的N组数值构成，种群大小（即N的大小）由具体问题的解空间决定，它既要保证数值解的多样性又要适量。
在本模型中，将解空间设置为[-10^6,10^6],N值通过试算决定为1000。
适应度【1】
适应度是衡量非线性方程组合理迭代初值的标准，它通过自定义的适值函数来体现。
适值函数的建立是把方程组的求解转换为模型优化及其求解的过程。
适对可能的初值，通过适应度fitness进行筛选。
令（8）式经纬度综合方程记为
则适值函数为
由上式，知适应度fitness的值越小,则该组数值离准确值就越近,这样的数值收敛到准确值的几率很大,故可以作为合理的迭代初值。
图1给出了该算法的流程图。
图：
遗传算法确定初值流程
初值的确定
设定fitness<
10^（-4）使结果几乎无偏差,利用matlab计算,（建议加上利用遗传算法时的截图）得到最优的5组初值，
X0
Y0
1.933152
-0.12007
-0.36543
-0.31665
-1.11501
-0.24987
0.819788
-0.35634
1.580346
-0.1073
（用表表示）
7.2.3模型的求解
通过前两步的处理，已经将由两个三元非线性方程构成的方程组，转化成了已经可以确定初值之后的，由两个二元非线性方程构成的方程组的求解问题。
代入附件二中的数据，利用matlab求解该方程组。
再通过聚类分析，
由赤纬角公式【2】
α=23.45/180*sin（2pi*（284+ξ）/360）
并结合
（2）式，得相对时区满足（-1，-0.5），弧度满足（-0.6，-0.8），则很明晰得到所求解。
（红色圆圈内所示）
利用matlab数值显示功能，可知纬度弧度制为-0.625，即35.809度。
将经度ξ值代入赤纬角公式，得到赤纬角23°
43，查阅北半球赤纬角对应日期表【2】，知当天为6月21日。
对附件三的数据，同样进行上述处理。
求得经度ξ为108.93E，赤纬角为-23°
43，对应日期为12月22日。
对于附件二以及附件三的数据，将x-y坐标系对应的实际地理方向变换后，计算机显示无解，故所得可能的地点及日期为：
数据来源地点经纬度日期
附件二新疆81.88E35.809N6月21日
附件三湖北十堰110.79E32.635N12月22日
【1】基于matlab的非线性方程组的求解发法-侯建杰
【2】太阳直射点纬度的数学推导和分析-蒋洪力
8.问题四的建模与求解
1）在日期已知和日期未知的两种情况下对视频进行数据处理，已知直杆的高度为2米，通过直杆太阳影子的变化视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用其求出若干个可能的拍摄地点。
对视频截图，建立如图所示坐标系
坐标系图
利用灰度值位置确定法，由已知杆长，得截取图像的各时刻X0,Y0坐标。
图：
灰度取值
利用灰度值位置确定法，由已知杆长，得到视频图像得到各个时刻的X0,Y0。
假设图片中底座为正方形，y轴上变换k=22/108,模型m=f（l,h）
由比例关系得m/h=al,得到a/（m/hl）=5/（22*108）=5/2376
即m=5/2376*l*h，再对X0进行修正：
（X0-50）：
X1’
△X=5/2376Y0（X1’+△X）（1-）可得到实际影长s’’
至此，问题就转换成，在已知或未知日期的情形下，利用时间段、各时刻太阳影子顶点坐标、如何确定直杆的位置这了。
即问题二、问题三。
视频中地面的角度，
呼和浩特（111.772E，40.857N）
视频中地面的角度
对已知日期情形，
对未知日期情形，
9.模型分析与检验
10.模型评价
10.1基于文献后的工作
1.对于问题一，已有文献只是借助一些关于太阳高度角、方位角等其他类似物理量的计算公式构建了计算求太阳影子的轨迹坐标方程，且计算繁琐，表达式冗杂。
本文通过对公式的统一数学处理，灵活借用建筑光学的公式，建立起了一个含有5个变量的数学模型。
即可通过已知数据的类型，可方便地运用该模型处理其他变量的求解，不再拘泥于太阳影子轨迹的计算，也摆脱了应用领域的限制。
2.对于问题二，在已有文献的基础上，建立非线性方程组来求解直杆的地理位置。
又结合考虑方程近似解的准确性后，我们创新性地先求出了杆高与时间的关系式后，将非线性方程组简化成了一个非线性方程，很大程度上提高了所得解的精确性。
3.对于问题三，在已有文献与已有方法的基础上，面对缺少变量导致的必不可少的非线性方程组的求解问题。
本文巧妙地结合遗传算法对初值进行了淘汰与筛选，提高了所得解的准确度。
3.对于问题四，基于视频处理文献，科学地根据比例变换，构造视频坐标系，通过计算机遍历各个灰度值小格，确定各时刻坐标系中影长。
通过对应比例式，将问题转换成问题二与问题三，相比于文献中的复杂算法，更简便易行，且结果满足精度要求。
10.2优缺点
10.2.1优点：
1.问题二三中的模型中均涉及到了非线性方程组的求解，本文通过简化成非线性方程、结合遗传算法的选择初值的办法，以及最后对于多组解进行的聚类分析过程，都大幅度地提升了模型算法的准确性。
2.问题三中，综合问题二两个处理模型，且引入遗传算法，种群和适应度解决了非线性方程组解集多样性和合理迭代初值问题，fsolve函数则保证了方程组在合理初值下的快速求解。
由此可见，整个模型满足了该类非线性方程组数值求解的完备性。
3.可以把问题一二三涉及到的模型均称作是太阳定位问题的处理模型。
该模型可适应于日期、经纬度、杆高这几个条件不全部已知时的多种情况的问题求解，具有较高的普适性。
4.可将问题四中建立的模型推广到所有视频监控类的数据处理中，可以方便的求得拍摄点的地理位置,具有很强的推广性。
10.2.2缺点：
1.遗传算法确定初值，虽然精度高，但是效率较低，运行时间长。
2.对问题二、三中附件提供的21组数据，采用全代入的处理方法，未能充分利用其中隐含关系，使求解更简单快捷。
3.对问题三未知日期的情况，经过聚类后，需结合图形求解未知量，操作较为繁琐
10.3模型改进
对太阳高度角、方位角的修正
本文在上述模型中并未考虑大气对太阳光的折射作用。
然而实际上，由于大气层中存在水蒸气、二氧化碳和尘埃，其密度与外太空的真空并不相同，因此当太阳光从外太空的真空传入大气层时，必将发生偏折。
【1】故采用式（）～（）来太阳高度角和方位角会存在一定误差，最后导致模型结果存在一定的偏差。
根据斯涅尔定律可以得出修正大气折射率后的太阳高度角β，其计算公式【2】为
因此，可得出考虑大气折射影响后的太阳高度角β为：
因此若能将修正后的公式代入模型中重新计算，计算结果的精确性应能有所提高。
注意：
截屏公式中的符号含义与我们定义的符号含义不同，排版录入时需要更正。
在截屏里，太阳高度角是h，我们是β；
空气折射率是α，我们需要重新定义成？
9.4未来发展及展望
文中所论述的，利用遗传算法确定初值，提高非线性方程组解的精确程度，利用聚类分析提高解的稳定性，对视频进行坐标转换处理等技术，能被广泛应用需要地理时间及位置即刻确定的领域：
导航、建筑物设计、光能发电厂建设等领域。
【1】太阳影子倍率的计算方法及其对光伏阵列布局的影响
【2】
10.参考文献
11.附录
修改的任务
1.模型四要完善？
、
2.
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