傅里叶级数学习课件docWord格式文档下载.docx
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在电工学上，这种展开称为谐波分析。
其中常数项A0称为
f的直流分量；
A1sin（t1）称为一次谐波（又叫做基波）；
而A2sin（2t2），
（t）
A3t依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
sin（3）
3
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数Ansin（ntn）按三角公式变形，得
Ansin（ntn）AnsinncosntAncosnsinnt，
a
0，则上式等号右端的级数就可以改写令AaAbAtx
nsin,cos,0nnnnn
成
0（cossin）
a
nnxbnx
这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件
（1）函数f（x）须为周期函数；
（2）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
（如果x0是函数f（x）的间断点，但
左极限f（x00）及右极限f（x00）都存在，那么x0称为函数f（x）的第一类间断
点）
（3）在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则f（x）能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x是
f（x）的连续点时，级数收敛于f（x），当x是f（x）的间断点时，级数收敛于
1
2
[
f（x0）f（x0）]。
、
以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet）充分条件）的内容。
2.函数展开成傅里叶级数
（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：
所谓三角函数1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,①
在区间[,]上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间
[,]上的积分等于零，即
cosnxdx0（n1,2,3），
sinnxdx0（n1,2,3），
sinkxcosnxdx0（k,n1,2,3），
coskxcosnxdx0（k,n1,2,3,kn），
sinkxsinnxdx0（k,n1,2,3,kn）.
（2）傅里叶系数的推导
设f（x）是周期为2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数f（x）的傅里叶级数记
作
f（x）annxbnx②
那么傅里叶系数a0,a1,b1,如何利用f（x）表达出来？
先求a0，对②式从到逐项积分：
f（x）dx
0cossin
dx
annxdxbnxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
f（x）dx2
从而得出
af（x）dx
其次求an，用cosnx乘②式两端，再从到逐项积分，可得
fx）cosnxdxcos
（0
nxdx
2sincos
ncosnxdxbnxnxdx
根据三角函数系①的正交性，可以得出：
f
1cos2nx
（2
xnxdxcosnxdxa
）cosana
nn
1（n1,2,3）.
fxnxdx
an（）cos
类似地，用sinnx乘②式两端，再从到逐项积分，可得
fx）sinnxdxsin
nsinnxcosnxdxbsinnxdx
1cos2nx2
f（x）sinnb
nxdxasinnxdxa
21
bn（）sin
fxnxdx
（n1,2,3）
由于当n0时，an的表达式正好给出a0，因此，已得结果可以合并写成
an（x）cos
fnxdx
（n0,1,2,3），
bnf（x）sin
（n1,2,3），
例：
设f（x）是周期为2的周期函数，它在[,）上的表达式为
1,x0,
f（x）
1,0x.
将f（x）展开成傅里叶级数。
解所给函数满足收敛定理的条件，它在点xk（k0,1,2,）处不连续，在其它点
处连续，从而由收敛定理可知f（x）的傅里叶级数收敛，且当xk时级数收敛于
11
（
1）
，
当xk时级数收敛于f（x）。
计算傅里叶系数如下：
（1）cosnxdxcosnxdx
0（n0,1,2,3）；
bn（）sin
fx
（1）sinnxdxsinnxdx
1cosnx1cosnx
[1cosncosn1]
2n
[1
（1）
]
4
n1,3,5,,
0,n2,4,6,.
将求得的傅里叶系数代入，得出f（x）的傅里叶级数展开式为：
411
f（x）sinxsin3xsin（2k1）x
32k1
（x；
x0,,2,）.
3.奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理：
设f（x）是周期为2的函数，满足收敛定理的条件，则
①当f（x）为奇函数时，它的傅里叶系数为
0（n0,1,2,）,
b
f（x）sinnxdx（n1,2,3,）.
②当f（x）为偶函数时，它的傅里叶系数为
f（x）cosnxdx（n0,1,2,）,
0（n1,2,3,）.
下面对这个定理加以证明
（1）证设f（x）为奇函数，即f（x）f（x）。
按傅里叶系数公式有：
f（x）cosnxdxf（x）cosnxdx
利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x代替x，然后对调积分的上下限同时
更换它的符号，得
an
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
00
0（n0,1,2,）.
同理
f（x）sinnxdxxsinnxdx
f（x）sin（nx）（dx）xsinnxdx
f（x）sinnxdx（n1,2,3,）.
（2）证设f（x）为偶函数，即f（x）f（x）。
同
（1）利用定积分换元法
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
f（x）cosnxdx（n0,1,2,3,）.
f（x）sinnxdxxsinnxdx
这个定理说明了：
如果f（x）为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
bnsinnxn1
如果f（x）为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
0cos.
nnx
4.傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。
设周期为2周期函数f（x）的傅里叶级数为
③
其中系数an,bn为
f（x）cosnxdx（n0,1,2,）,
④1
f（x）sinnxdx（n1,2,3,）.
利用欧拉公式
ite
it
e
cost，
sint
2i
于是③式化为
aaib
0n（ee）
inxinxninxinx
（ee）
222
aibaib
ne
ninxnn
22
inx
.
⑤
记
aanibcaibc
0（n1,2,3,）,
nnn
c,,
0nn
则⑤式就表示为
inx
c
nece
）.
inxinxinx
（n
cne）.
）cnece
0n
c⑥
nen
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数cn的计算
a1
根据④式可得出fxdx
c（）
ib
i
f（x）cosnxdxf（x）sinnxdx
f（x）cosnxisinnxdx
finx；
（x）edx（n1,2,3,）
finx
（x）e
dx（n1,2,3,）
将已得的结果合并为：
cninx⑦
f（x）edx（n0,1,2,）.
⑦式就为傅里叶系数的复数形式。
傅里叶级数的两种形式，在本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且在电子技术中经常
用到这种形式。
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