等腰三角形常用辅助线专题练习含答案文档格式.docx

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ZE=ZADE.IZB+ZE二ZC+ZADEVZADE=ZCDGAZB+ZE=ZC+Z

CDGVZB+ZE=ZDGC,ZC+ZCDG二ZBGE,ZBGE+ZCGD=180°

AZ

BGE二ZCGD二90°

AEG±

BC.VAF/7BC・・.AF丄DE.

E

解法2：

过A点作AABC底边上的高，

再用ZBAC二ZD+AED二Z2ZADE,即ZCAG二ZAED,证明AG〃DE利用AF〃

BC证明AF丄DE

G

3•如图，ZXABC中，BA-BC,点D

是AB延长线上一点，DF丄AC交BC于

E,求证：

ADBE是等腰三角形。

在Z\ABC中，VBA=BC,

/.ZA二"

VDF1AC,二ZC+Z

FEC二90°

ZA+ZD二90°

ZFEC二ZDTZFEC二ZBED,ZBED二

ZD,・・・BD二BE,即ADBE是等腰三角形.

4.如图，ZXABC中，AB二AC,E在AC±

且AD二AE,DE的延长线与BC相交于F。

求证：

DF丄BC.

VAB=AC,AZB=ZC,又VAD=AE,AZD=ZAED,

・•・ZB+ZD二ZC+ZAED,/.ZB+ZD二ZC+ZCEF,

AZEFC=ZBFE=180°

X1/2=90°

.'

.DF丄BC;

若把“AD二AE”与结论“DF丄BC”互换，结论也成立。

若把条件“AB二AC”与结论“DF丄BC”互换，结论依然成立。

5.如图，AB二AE,BC二ED,ZB二ZE,AM丄CD,A求证：

CM二MD.

连接AC,AD

VAB=AE,ZB二ZE,BC二EDAAABC^AAED（SAS）

・・・AC二AD

TAM丄CDAZAMC=ZAMD=90°

TAM二AM（公共边）ARTAACM^RTA

ADM（HL）

・・・CM=DM

6.如图，已知AD是AABC的中线，BE交AC于F,且AE二EF,求证：

BF二AC证明：

过B点做AC的平行线，交AD的延长线于G点

TAD为中线…・・BD二CDTBG平行于AC,AZFGB=ZCAF,ZDBG=ZACD在AAFE和AGFR中，TZFGB二ZCAF,ZGFB二ZAFEAAAFE^AGFB・•・ZFGB=ZFAE

TAE二EF,・•・ZFAE=ZAFE

・・・ZBFG=ZGAGFB为等腰三角形，且BF二BG在AADC和△GBD中T

ZDBG=ZACD,BD=CD,ZBDG二ZCDAAAADC^AGBD.\BG=AC

・•・BF二AC

7•已知：

如图，△ABC（ABHAC）中，D、E在BC上，且DE二EC,过D点作

DF〃BA,交AE于点F,DF二AC,求证：

AE平分ZBAC

延长AE,过D作DMIIAC交AE延长线于MAZM=Z1,ZC=Z2在

ADEM与Z\CEA中ZM=Z1,ZC=Z2,DE二CE/.ADEM^ACEA/.DM-CA

又VDF-CA,.\DM=DF,.\ZM=Z3TABIIFD,AZ3=Z4,AZ4=Z1.\AE

平分ZBAC

A

殳线于M

8.已知：

如图，AABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。

求证：

BD二CE

过D作DF〃AC交BC于F,VDF/7AC（已知）,ZDFC=ZFCE,ZDFB二ZACB（平行线的性质）TAB二AC（已知），/.ZB=ZACB（等边对等角）,AZB=ZDFB（等量代换），・・・BD=DF（等角对等边）,VBD=CE（已知）,:

.DF=CE（等量代换），

VZDFC=ZFCE,ZDGF二ZCGE（已证），

AADFG^AECG（AAS）,

・・・DG二GE（对应边相等）

9.已知：

如图，在AABC中，AB二AC二CE,B是AD上一点，BE丄CB交CD于E,AC丄DC,求证：

BE二1/2BC

过点A作AF丄BC交BC于点F

••'

△ABC是等腰三角形，AB二AC,ZABF二ZACF…

（1）AAF是BC上的垂直平分线,AF丄BC,BF二CF二BC/2

（2）VBE±

BC,ABE//AF

ZDBE=ZBAF（3）VZCBE=90°

AZDBE+

ZABF=90°

二ZACF+ZECB（4）由⑴和（4）知道：

ZDBE=

ZECB（5）由（3）和（5）知道:

ZBAF=ZECB又VAB=CE,

ZBFA=ZEBC=90°

.IRT△BFA9RT△EBC（角角边）

BF=EB（6）由

（2）和（6）知道：

BE二BC/2

10.如图，AD为AABC的角平分线，M为BC的中点，ME〃DA交BA延长

线于E,求证：

BE二CF二1/2（AB+AC）

（1）延长EM,使EM二MG,连接CG

•••点M是BC的中点,Z.BM=CMVZBME=ZCMGZ.ABME^ACMG（SAS）

「•BE二CG,ZE=ZG

TAD平分ZBAC,AZBAD=ZCADTME〃DA,二ZBAD二ZE,ZCAD=ZAFE

「•ZE二ZAFE,•••AE二AFVZAFE^ZCFG,AZG-ZCFGACF^CG,Z.

BE二CG,「•BE二CF

E：

（2）TBE二AB+AE,二2BE二2AB+2AE

TCF二BE,AC二CF+AF,AE=AF

・•・2BE二2CF二AB+（AB+AE）+AE二AB+BE+AE二AB+（CF+AE）TAC=AF+CF

2BE二AB+AC.•-BE二CF二1/2（AB+AC）

11.如图，已知AABC中，AD丄BC,ZABC二2ZC.试说明AB+BD二CD的理由。

证明：

在DC上截取DE二BD,连接AEVAD』BC,.・・ZADB=ZADE=90°

TAD=ADARTAADB^RTAADE（SAS）AAB=AE,ZABC二ZAEBVZAEB=ZC+ZEACVZABC=2ZC（已知）ZEAC=ZC

「•AE二CE,「•AB二CETCD二CE+DE,.••AB+BD二CD

12•已知：

如图，AD是ZiABC的角平分线，且AC二AB+BD.求证：

ZB二2

ZC.

在AC上作AE=AB,连结DETAC二AB+BD=AE+CE,ABD=CEV

AD是角平分线,AZBAD=ZEAD又TAB二AE,AD二ADAABD^AEAD

•••ZB=ZAED,BD=DE=CE

AZEDC=ZC,ZAED=2ZC

即：

ZB=2ZC

13.如图所示，已知在AABC中AD是,A的平分线，且ZB=2ZC.求证:

AC二AB+BD.

延长AB到E,使AC二AE,连接DE

VAD是ZBAC的角平分线AZBAD=ZDAC（角平分线的定义）：

•公共边AD=ADAC=AEZBAD=ZDACAAACD^AAED（SAS）AZACB=ZDEA（全等三角形形的对角相等）

VZBDE+ZDEB=ZCBAZCBA二2ZACBZACB=ZDEAAZBDE=ZDEA

BD二BE（等角对等边）

TAB+BE二AE,AC=AE,BD二BE

•••AB+BD二AC

14.如图，点E是等边Z\ABC内一点，且EA二EB，AABC外一点D满足

BD二AC,且BE平分ZBDEo求ZBDE的度数解:

连接CE,TAC二BC,AE二BE,

CE为公共边，.IABCE^AACE,ZBCE=ZACE=30°

又TBD二AC二BC,

ZDBE二ZCBE,BE为公共边，ABDE^ABCE,ZBDE二ZBCE二30°

15.如图,已知在AABC中,AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.

BD+DC二AD・A

提示：

证明△ABE^ABCD即可EBC

16.已知：

如图，Z\ABC中，ZC=90°

CM丄AB于M,AT平分ZBAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：

CT=BE证明1：

作DF〃BC交AB于F,则：

VZAFD=ZB=ZACD,AT为ZBAC的角平分线,AD为公共边AAAFD^AACD,AF=AC连接TFVAF=AC,AT为ZBAC的角平分线,AT为公共边△ACT竺△AFT,TF丄AF,TF〃CMTDF〃CT〃BE,TF〃CD,DE〃BF化四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形.*.CT=DF=BE

证明2：

作TF丄AB于F,贝lj：

TZCDT二ZADM二90°

-/DAM二90°

-/DAC二

ZCTDAZCDT=ZCTD,「CT二CDVAT为ZBAC的角平分线,TF丄AB,

AC丄TC•:

CT二TF二CD•/DE//BF,TF//CD,.•-ZDEC二ZB,ZDCE二ZFTB

又TTF二CD.\ACDE^ATFB,ACE^BTACE-TE=BT-TE,CT=BE