等腰三角形常用辅助线专题练习含答案文档格式.docx

1、ZE=ZADE .I ZB+ZE二ZC+ZADE V ZADE=ZCDG A ZB+ZE=ZC+ZCDG VZB+ZE=ZDGC, ZC+ZCDG二ZBGE, ZBGE+ZCGD=180 AZBGE二ZCGD二90 AEGBC. VAF/7BC .AF丄DE.E解法2：过A点作AABC底边上的高，再用 ZBAC二ZD+AED二Z2ZADE,即 ZCAG二ZAED,证明 AGDE 利用 AFBC证明AF丄DEG3如图，ZXABC 中，BA-BC,点 D是AB延长线上一点，DF丄AC交BC于E,求证：ADBE是等腰三角形。在ZABC 中， VBA=BC,/. ZA二 VDF1AC, 二 ZC+ZF

2、EC二90 , ZA+ZD二90 ,ZFEC二ZD T ZFEC二ZBED, ZBED二ZD, BD二BE,即ADBE是等腰三角形.4.如图，ZXABC中，AB二AC, E在AC ,且AD二AE, DE的延长线与BC相 交于F。求证：DF丄BC.VAB=AC, AZB=ZC, 又 VAD=AE, A ZD=ZAED, ZB+ZD二ZC+ZAED, /. ZB+ZD二ZC+ZCEF,AZEFC=ZBFE=180 X 1/2 = 90 , .DF丄BC;若把“AD二AE”与结论“DF丄BC”互换，结论也成立。若把条件“AB二AC”与结论“DF丄BC”互换，结论依然成立。5.如图，AB二AE,BC二

3、ED, ZB二ZE,AM丄CD, A 求证：CM二MD.连接AC,ADVAB=AE, ZB二ZE, BC二ED A AABC AAED （SAS）AC二ADTAM丄CD A ZAMC=ZAMD=90 TAM二AM （公共边）ARTAACMRTAADM （HL）CM=DM6.如图，已知AD是AABC的中线，BE交AC于F,且AE二EF,求证：BF二AC 证明：过B点做AC的平行线，交AD的延长线于G点TAD 为中线BD二CD TBG 平行于 AC, A ZFGB=ZCAF, ZDBG=ZACD 在AAFE 和 AGFR 中，TZFGB二ZCAF, ZGFB二ZAFE AAAFEAGFB ZFGB

4、=ZFAETAE二EF, ZFAE=ZAFEZBFG=ZG AGFB为等腰三角形，且BF二BG在AADC和GBD中TZDBG=ZACD, BD=CD, ZBDG二 ZCDA AAADCAGBD .BG=ACBF二AC7已知：如图，ABC（ABHAC）中，D、E在BC上，且DE二EC,过D点作DFBA,交 AE 于点 F,DF二AC,求证：AE 平分ZBAC延长AE,过D作DM II AC交AE延长线于M A ZM=Z1, ZC=Z2在ADEM 与ZCEA 中 ZM=Z1, ZC=Z2, DE二CE /. ADEMACEA /.DM-CA又 VDF-CA, .DM=DF, .ZM=Z3 TAB

5、II FD, A Z3=Z4, AZ4=Z1 .AE平分ZBACA殳线于M8.已知：如图，AABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在 延长线上取一 点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求 证：BD二CE过 D 作 DFAC 交 BC 于 F, VDF/7AC （已知）,ZDFC=ZFCE, ZDFB二ZACB （平行线的性质）TAB二AC （已知），/. ZB=ZACB （等 边对等角）,AZB=ZDFB （等量代换），BD=DF （等角对等边）, VBD=CE （已知）,:.DF=CE （等量代换），VZDFC=ZFCE, ZDGF二 ZCGE （已证），AADFGAECG （AA

6、S）,DG二GE （对应边相等）9.已知：如图，在AABC中，AB二AC二CE,B是AD上一点，BE丄CB交CD 于 E, AC 丄DC,求证：BE二 1/2BC过点A作AF丄BC交BC于点FABC 是等腰三角形，AB二AC, ZABF二ZACF（1） AAF 是 BC 上的 垂直平分线,AF丄BC, BF二CF二BC/2 （2） VBEBC, ABE/AFZDBE=ZBAF （3） V ZCBE=90 A ZDBE+ZABF=90 二ZACF+ZECB （4） 由和（4）知道：ZDBE=ZECB （5）由（3）和（5）知道:ZBAF=ZECB 又 VAB=CE,Z BFA= Z EBC=90

7、 .I RT BFA 9 RT EBC （角角边）BF=EB （6） 由（2）和（6）知道：BE二BC/210.如图，AD为AABC的角平分线，M为BC的中点，MEDA交BA延长线于 E,求证：BE二CF二 1/2（AB+AC）（1）延长EM,使EM二MG,连接CG点 M 是 BC 的中点,Z.BM=CM V ZBME=ZCMG Z.ABMEACMG （SAS）BE二CG, ZE=ZGTAD 平分 ZBAC , A ZBAD=ZCAD T ME DA,二 ZB AD二 ZE, ZCAD=ZAFEZE二ZAFE, AE二AF V ZAFEZCFG , AZG-ZCFG ACFCG , Z.BE

8、二 CG, BE 二 CFE：（2）TBE二AB+AE,二 2BE二2AB+2AETCF二BE, AC二CF+AF, AE=AF 2BE二2CF二AB+（AB+AE）+AE 二AB+BE+AE二AB+（CF+AE） T AC=AF+CF2BE二AB+AC .- BE二CF二 1 /2 （AB+AC）11.如图，已知AABC中，AD丄BC, ZABC二2ZC.试说明AB+BD二CD的理由。 证明：在DC上截取DE二BD,连接AE VADBC,.ZADB=ZADE=90 T AD=AD ARTAADBRTAADE （SAS） AAB=AE , ZABC二ZAEB VZAEB=ZC+ZEAC V Z

9、ABC=2 ZC （已知）ZEAC=ZCAE二CE ,AB二CE TCD二CE+DE , .AB+BD二CD12已知：如图，AD是ZiABC的角平分线，且AC二AB+BD.求证：ZB二2ZC.在 AC 上作 AE=AB,连结 DE TAC二AB+BD=AE+CE , ABD=CE VAD 是角平分线,AZBAD=ZEAD 又TAB二AE, AD二AD AABDAEADZB=ZAED, BD=DE=CEAZEDC=ZC, ZAED=2ZC即：ZB = 2ZC13.如图所示，已知在AABC中AD是,A的平分线，且ZB=2ZC.求证: AC二AB+BD.延长AB到E,使AC二AE,连接DEVAD是Z

10、BAC的角平分线A ZBAD=ZDAC （角平分线的定义）：公共 边 AD=AD AC=AE ZBAD=ZDAC A AACDAAED （SAS） A ZACB=ZDEA （全等三角形形的对角相等）V ZBDE+ZDEB=ZCBA ZCBA二2ZACB ZACB=ZDEA A ZBDE=ZDEABD二BE （等角对等边）TAB+BE二AE, AC=AE, BD二BEAB+BD 二 AC14.如图，点E是等边ZABC内一点，且EA二EB，AABC外一点D满足BD二AC,且 BE 平分ZBDEo 求ZBDE 的度数 解:连接 CE, TAC二BC, AE二BE,CE 为公共边，.I ABCEAAC

11、E, ZBCE=ZACE=30 又TBD二AC二BC,ZDBE二ZCBE, BE 为公共边，ABDE ABCE, ZBDE二ZBCE二3015.如图,已知在AABC中,AB=BC=CA, E是AD上一点，并且EB=BD=DE.BD+DC二AD A提示：证明 ABEABCD即可E B C16.已知：如图，ZABC中，ZC=90 , CM丄AB于M, AT平分 ZBAC交 CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E, 求证：CT=BE 证明1：作DFBC交AB于F,则：V ZAFD=ZB=ZACD, AT为ZBAC的角平分线,AD为公共边 A AAFDA ACD, AF=AC连接TF VAF

12、=AC, AT为ZBAC的角平分线,AT为公共边 ACT 竺AFT, TF 丄 AF, TFCM T DF CT BE, TF CD, DE BF 化四边 形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形.*.CT=DF=BE证明 2： 作 TF丄AB 于 F,贝lj： TZCDT二ZADM二90 -/DAM二90 -/DAC二ZCTD A ZCDT =ZCTD ,CT二CD VAT 为ZBAC 的角平分线,TF丄AB,AC 丄 TC : CT二TF二CD / DE / BF, TF / CD, .- ZDEC二 ZB, ZDCE二 ZFTB又 TTF二CD .ACDEATFB, ACEBT ACE-TE=BT-TE, CT=BE