导数及其应用文档格式.docx
《导数及其应用文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《导数及其应用文档格式.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
∆x→0∆x→0∆x∆x∆x
(2)实际背景:
瞬时速度,加速度,角速度,电流等。
(3)几何意义:
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。
2.求导的方法:
(1)常用的导数公式:
C/=0(C为常数);
(xm)/=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx;
(cosx)/=-sinx;
(ex)/=ex;
(ax)/=axlna
1;
x1
(logax)/=logae.
x(lnx)/=
(2)两个函数的四则运算的导数:
(u±
v)/=u/±
v/;
(uv)/=u/v+uv/;
u/v-uv/⎛u⎫
(v≠0).⎪=2
v⎝v⎭
/
(3)复合函数的导数:
y/x=y/u⋅u/x3.导数的运用:
(1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时,如果f/(x)>
0,则f(x)为增函数;
如果f(x)
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点,都有f(x)f(x0)),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
四.例题讲解:
例1.
(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义;
(2)若f(x)在R上可导,且f(x)=-f(x),求f/(0)。
(1)解:
如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比
∆yf(0+∆x)-f(0)
,当∆x→0时有极限,这极限就称为y=f(x)在x=0=
∆x∆x
f(0+∆x)-f(0)
。
∆x
处的导数。
记作f/(0)=lim
∆x→0
(2)解法一:
∵f(x)=f(-x),则f(△x)=f(-△x)
∴f/(0)=lim
f(∆x)-f(0)f(-∆x)-f(0)
=-lim
∆x-∆x∆x→0
当∆x→0时,有-∆x→0∴f/(0)=-lim∴f/(0)=0。
解法二:
∵f(x)=f(-x),两边对
f/(x)=f/(x)⋅(-x)/=-f/(x)
-∆x→0
f(-∆x)-f(0)
=-f/(0)
-∆x
x求导,得
∴f/(0)=-f/(0)∴f/(0)=0。
评析:
本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。
题
(2)
可对其几何意义加以解释:
由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数,它的图象关于y轴对称,因此它在x=x0处的切线关于y轴对称,斜率为互为相反数,点(0,f(0))位于y轴上,且f/(0)存在,故在该点的切线必须平行x轴(当f(0)=0时,与x轴重合),于是有f(0)=0。
在题
(2)的解二中可指出:
可导的偶函数的导数为奇函数,让学生进一步思考:
可导的奇函数的导函数为偶函数吗?
例
lim
2.设f(x)在点x0处可导,a为常数,则
f(x0+a∆x)-f(x0-a∆x)
等于()
A.f/(x0)B.2af/(x0)C.af/(x0)D.0解:
f(x0+a∆x)-f(x0-a∆x)∆x→0∆x
f(x0+a∆x)-f(x0)+f(x0)-f(x0-a∆x)=lim∆x→0∆x
f(x0+a∆x)-f(x0)f(x0-a∆x)-f(x0)
=alim+alima∆x→0-a∆x→0a∆x-a∆x=2af/(x0)lim
故选(C)
在例1的基础之上,本题旨在巩固学生对函数在某一点处的
导数的定义的掌握。
例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出,同时,一气球以10km/h
的速度离开此车直线上升,求1h后它们彼此分离的速度。
(人教版高三数学教材(选修Ⅱ)第三章复习参考题B组第6题)
解:
以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标
系系(如图),t时刻汽车位于(50t,0)处,气球位于(0,10t)处,
则两汽车和气球的距离s=(50t)2+(10t)2
s/(t)=
11
⋅⋅(2⨯502t+2⨯102t)2(50t)2+(10t)2
令t=1,
s/
(1)=
11⋅⋅(2⨯502+2⨯102)2(50)2+(10)2
=1026
故1h后它们彼此分离的速度为1026km/h。
(例3图)
本题考查学生对导数的某些实际背景的了解,要求学生能熟
练运用复合函数的求导法则。
而且考查了学生的画图识图能力,考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。
2019年全国高考湖北卷(数学理科)第16题就是由本题改编而成。
例4.已知抛物线C:
y=x2+2x,按下列条件求切线方程:
(1)切线过曲线上一点(1,3)。
拓展:
已知抛物线C1:
y=x2+2x和C2:
y=-x2+a,如果直线l同时是
C1和C2的切线,当a取何值时,C1和C2有且仅有一条切线?
写出此公切线的方程。
(2019年全国高考卷新课程(数学文科))
(2)切线过抛物线外的一点(1,1)。
(3)切线的斜率为2。
点P为抛物线C:
:
y=x2+2x上任意一点,则点P到直线y=2x-2
的最小距离为_______。
本题考查曲线y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:
曲线y=f(x)
在点P(x0,y0)处切线的斜率。
以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。
第
(1)小题的拓展是将第
(1)小题中的点一般化,考查内容是一样的,是在第
(1)小题的基础上有所提高,激发学生的兴趣。
第(3)小题的拓展与第(3)小题解法类似,只是在出题上换个角度,属多题一解的类型。
例5.设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=f/(x)的图象如右图所示,则
y=f(x)的图象最有可能是()
(2019年全国高考浙江卷(数学理科)第11题)
答案:
(C)
此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。
令f(x)=
13
x-x2+1,可由对此题的分析,结合图象作以下拓展:
3
(1)求f(x)的极值;
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。
如让学生判断下
列说法是否正确:
①极大值一定比极小值大;
②区间的端点一定是极值点;
③导数为0的点一定是极值点;
④极值点一定是导数为0的点。
从而进一步强调求极值的方法。
(2)求y=f(x)在x∈[0,3]上的最值;
让学生辨析极值和最值的区别,让学生进一步熟悉利用导数求函数
最值的基本思路。
(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架,如果所制做容器
的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少是容器的容积最大?
并求出它的最大容积。
(2002年全国新课程高考卷(理科)第20题)
此题为题
(2)的类似拓展,强调了导数在实际生活中的应用。
(4)解不等式f(x)≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具,故有很多问题如:
证明不等式、
解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理,进而用导数方法求解。
例6.设函数f(x)=
x2+1-ax,其中a>
0。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)解不等式f(x)≤1。
(1)f/(x)=
xx+1xx2+1
2
-a
①当a≥1时,有
∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数。
②当0
a-a
,
∴f(x)在区间(-∞,]上是单调递减函数。
解不等式f/(x)>
0得x>
∴f(x)在区间[,+∞)上是单调递增函数。
(2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,由f(0)=1,
∴当且仅当x≥0时f(x)≤1.当0
]上是单调递减函数,
f(x)在区间[,+∞)上是单调递增函数,
由f(x)=1得x=0或x=且0
a-a2
2a
,2
1-a
1-a2
∴当且仅当0≤x≤综上可得:
时,f(x)≤1.2
当a≥1时,f(x)≤1的解集为{x|x≥0};
当0
}。
本题是将2000年全国高考新课程卷(理科)第19题稍作改
动而得到。
使学生在例5中题(4)的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。
并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。
五.思维能力训练:
(一)选择题:
2x≥0
1.已知函数那么y/|x=0的值为()A.0B.1C.1或0D.不存在2.已知曲线C:
y=3x-x3及点P(2,2),则过点P可向C引切线的条数为
()
A.0B.1C.2D.3
3.下列求导的式子中正确的是()
A.[cos(1-x)]/=-sin(-x)B.(eπx)/=eπ+eπx
C.(ax)/=xax-1D.(ln)/=-
xx
1π
4.函数y=asinx+sin3x在x=处有极值,则()
33
1
A.a=2B.a=1C.a=D.a=-2
5.函数y=x3-3x,x∈[a2+1,2]的最小值是a2-1,则实数a的值是
C.a=-D.122
6.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>
0)为增函数,则()
A.b2-4ac>
0B.b>
0,c>
0C.b=0,c>
0D.b2-3ac
7.对函数f(x),已知f(3)=2,f/(3)=-2,则
A.0B.a=
2x-3f(x)
=___________。
x→3x-3
8.某日中午12时整,6船自A处以16km/h的速度向正东行驶,乙船
自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶,则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_______km/h。
(2019年全国高考湖北卷(理科)16题)
(三)解答题:
9.设抛物线C:
y=x2(x≥0)上的点P0(x0,y0),过P0做曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1,y1),然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线交于P2(x2,y2),仿此作出以下各点:
P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3…,Pn,Qn+1,…,已知x0=1。
(1)求过P0的切线方程;
(2)
求lim(x0+x1+x2++xn)的值。
n→∞
10.如果f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)],设F(x)=g(x)-λ(x),问是否存在适当的λ,使f(x)在(-∞,-
22
0)上是增函数?
)上是减函数,在(-22
若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由。
11.在半径为R的球内,内接一个圆柱,问该圆柱的高为多少时,其体积最大?
参考答案:
(一)1.(D)2.(D)3.(D)4.(A)5.(A)6.(D)
(二)7.88.-1.6
(三)9.
(1)2x-y-1=0;
(2)2
10.λ=311.x=
积最大。
[参考文献]
223
R时圆柱的体R,即圆柱的高为33
1.《热点重点难点专题透析》,吉林文史出版社,2019年10月2.《高中新教材导教导学》,北京师范大学出版社,2019年4月3.《数学通讯》,2019年11月