导数及其应用文档格式.docx

1、 x 0x 0x x x （2）实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 （3）几何意义： 函数y=f（x）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0） 处的切线的斜率。 2. 求导的方法： （1）常用的导数公式： C /=0（C 为常数）； （xm ） /=mxm-1（mQ）; （sinx）/=cosx; （cosx）/= -sinx ; （ex ） /=ex ; （ax ） /=ax lna 1; x 1 （loga x ） /=log a e . x （lnx ） /= （2）两个函数的四则运算的导数： （u v ） /=u /v /; （uv ） /=

2、u /v +uv /; u /v -uv /u （v 0）. =2 v v / （3）复合函数的导数：y /x =y /u u /x 3. 导数的运用： （1）判断函数的单调性。 当函数y=f（x）在某个区域内可导时，如果f /（x）0，则f（x）为增函数；如果f （x） （2）极大值和极小值。 设函数f（x）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f（x）f（x0） ）, 我们就说f（x0） 是函数f（x）的一个极大值（或极小值）。 （3）函数f（x）在a,b上的最大值和最小值的求法。 四. 例题讲解： 例1.（1）试述函数y=f（x）在x=0处的导数的定义； （2）若f（x）在

3、R 上可导，且f（x）= -f（x），求f /（0）。 （1）解：如果函数y=f（x）在x=0处的改变量y 与自变量的改变量x 之比 y f （0+x ） -f （0） ，当x 0时有极限，这极限就称为y=f（x）在x=0= x x f （0+x ） -f （0） 。 x 处的导数。记作f /（0） =lim x 0 （2）解法一：f（x）= f（-x），则f（x）= f（-x） f /（0） =lim f （x ） -f （0） f （-x ） -f （0） =-lim x -x x 0 当x 0时，有-x 0 f /（0） =-lim f /（0） =0。 解法二：f（x）= f（-x），

4、两边对 f /（x ） =f /（x ） （-x ） /=-f /（x ） -x 0 f （-x ） -f （0） =-f /（0） -x x 求导，得 f /（0） =-f /（0） f /（0） =0。 评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2） 可对其几何意义加以解释：由于f（x）=f（-x）,所以函数y=f（x）为偶函数，它的图象关于y 轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y 轴对称，斜率为互为相反数，点（0,f（0）位于y 轴上，且f /（0）存在，故在该点的切线必须平行x 轴（当f（0）=0时，与x 轴重合），于是有f （0）=0。在题（2）的解二中可指出：可导的

5、偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？ 例 lim 2. 设f（x）在点x 0处可导，a 为常数，则 f （x 0+a x ） -f （x 0-a x ） 等于（ ） A.f /（x0） B.2af/（x0） C.af/（x0） D.0 解： f （x 0+a x ） -f （x 0-a x ） x 0x f （x 0+a x ） -f （x 0） +f （x 0） -f （x 0-a x ） =lim x 0 x f （x 0+a x ） -f （x 0） f （x 0-a x ） -f （x 0） =a lim +a lim a x 0-a x 0a x

6、-a x =2af /（x 0） lim 故选（C）在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的 导数的定义的掌握。 例3. 一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h 的速度离开此车直线上升，求1h 后它们彼此分离的速度。（人教版高三数学教材（选修）第三章复习参考题B 组第6题） 解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标 系系（如图），t 时刻汽车位于（50t,0）处，气球位于（0,10t）处， 则两汽车和气球的距离s =（50t ） 2+（10t ） 2 s /（t ） = 11 （2502t +2102t ） 2（50t ） 2+（1

7、0t ） 2 令t=1, s /（1） = 11（2502+2102） 2（50） 2+（10） 2 =1026 故1h 后它们彼此分离的速度为1026km /h 。 （例3图）本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟 练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。2019年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。 例4. 已知抛物线C ：y=x2+2x，按下列条件求切线方程： （1）切线过曲线上一点（1，3）。 拓展：已知抛物线C 1：y=x2+2x和C 2：y= -x2+a，如果直线l 同时是 C 1和C 2的

8、切线，当a 取何值时，C 1和C 2有且仅有一条切线？写出此公切线的方程。（2019年全国高考卷新课程（数学文科） （2）切线过抛物线外的一点（1，1）。 （3）切线的斜率为2。点P 为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P 到直线y=2x-2 的最小距离为_。本题考查曲线y=f（x）在点x 0处的导数的几何意义：曲线y=f（x） 在点P（x0,y 0） 处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在

9、出题上换个角度，属多题一解的类型。 例5. 设f /（x）是函数f（x）的导函数，y=f/（x）的图象如右图所示，则 y=f（x） 的图象最有可能是（ ） （2019年全国高考浙江卷（数学理科）第11 题） 答案：（C ）此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。 令f （x ） = 13 x -x 2+1，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展： 3 （1）求f（x）的极值； 在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下 列说法是否正确：极大值一定比极小值大；区间的端点一定是极值点；导数为0的点一定是极值点；极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。 （2

10、）求y=f（x）在x 0,3上的最值； 让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数 最值的基本思路。 （3）用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器 的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少是容器的容积最大？并求出它的最大容积。（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题） 此题为题（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。 （4）解不等式f（x）1。 导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、 解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。 例6. 设函数f （x ） = x 2+1-

11、ax ，其中a0。 （1）求f（x）的单调区间； （2）解不等式f（x）1。（1）f /（x ） = x x +1x x 2+1 2 -a 当a 1时，有 函数f（x）在区间（-, +） 上是单调递减函数。 当0 a -a ， f（x）在区间（-, 上是单调递减函数。 解不等式f /（x）0得x f（x）在区间, +） 上是单调递增函数。 （2）当a 1时, 函数f（x）在区间（-, +） 上是单调递减函数, 由f（0）=1, 当且仅当x 0时f（x）1. 当0 上是单调递减函数, f（x）在区间, +） 上是单调递增函数, 由f（x）=1得x=0或x =且0 a -a 2 2a ， 2 1-

12、a , 1-a 2 当且仅当0x 综上可得： 时，f（x）1. 2 当a 1时，f（x）1的解集为x|x0; 当0 。本题是将2000年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改 动而得到。使学生在例5中题（4）的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。 五. 思维能力训练： （一）选择题： 2 x0 1. 已知函数那么y /|x=0的值为（ ） A.0 B.1 C.1或0 D.不存在 2. 已知曲线C:y=3x-x3及点P（2,2），则过点P 可向C 引切线的条数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3. 下列求导的式子中正确的是（

13、） A.cos（1-x）/=-sin（-x） B.（e x ） /=e +e x C.（ax ） /=xax-1 D.（ln） /=- x x 1 4函数y =a sin x +sin 3x 在x =处有极值，则（ ） 33 1 A.a=2 B.a=1 C.a = D.a= -2 5. 函数y=x3-3x ，x a 2+1, 2的最小值是a 2-1，则实数a 的值是 C. a =- D.1 22 6. 若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）为增函数，则（ ） A.b 2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c0 D.b2-3ac 7. 对函数f（x），已知f（3）=2，f /（3）=-

14、2，则 A.0 B.a = 2x -3f （x ） =_。 x 3x -3 8. 某日中午12时整，6船自A 处以16km/h的速度向正东行驶，乙船 自A 的正北18km 处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_km/h。（2019年全国高考湖北卷（理科）16题） （三）解答题： 9. 设抛物线C:y=x2（x0） 上的点P 0（x0,y 0） ，过P 0做曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1（x1,y 1） ，然后再过P 1作曲线C 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线交于P 2（

15、x2,y 2） ，仿此作出以下各点：P 0,Q 1,P 1,Q 2,P 2,Q 3,P n ,Q n+1, , 已知x 0=1。 （1） 求过P 0的切线方程； （2） 求lim （x 0+x 1+x 2+ +x n ） 的值。 n 10.如果f（x）=x2+1，g（x）=ff（x）,设F （x ） =g （x ） -（x ） ，问是否存在适当的，使f（x）在（-, - 22 , 0） 上是增函数？） 上是减函数，在（-22 若存在，求出的值，若不存在，说明理由。 11.在半径为R 的球内，内接一个圆柱，问该圆柱的高为多少时，其体积最大？ 参考答案：（一）1.（D） 2.（D） 3.（D） 4.（A） 5.（A） 6.（D） （二）7.8 8.-1.6 （三）9.（1）2x-y-1=0; （2）2 10. =3 11.x = 积最大。 参考文献 223 R 时圆柱的体R ，即圆柱的高为33 1.热点重点难点专题透析，吉林文史出版社，2019年10月 2.高中新教材导教导学，北京师范大学出版社，2019年4月 3数学通讯，2019年11月