高考数学理培优增分一轮全国经典版培优讲义第3章+第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

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高考数学理培优增分一轮全国经典版培优讲义第3章+第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

第3章　三角函数、解三角形

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　角的概念

1．分类

2．终边相同的角：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

考点2　弧度的定义和公式

1．定义：

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2．公式：

（1）弧度与角度的换算：

360°＝2π弧度；180°＝π弧度；

（2）弧长公式：

l＝|α|r；（3）扇形面积公式：

S扇形＝lr和S扇形＝|α|r2.

说明：

（2）（3）公式中的α必须为弧度制！

考点3　任意角的三角函数

1．定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝（x≠0）．

2．几何表示：

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

[必会结论]

1．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：

一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．任意角的三角函数的定义（推广）

设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝（x≠0）．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）第一象限角必是锐角．（　　）

（2）不相等的角终边一定不相同．（　　）

（3）终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2kπ＋π（k∈Z）.（　　）

（4）1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．（　　）

（5）三角函数线的方向表示三角函数值的正负．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）√

2．[课本改编]下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（　　）

A．2kπ＋45°（k∈Z）B．k·360°＋（k∈Z）

C．k·360°－315°（k∈Z）D．kπ＋（k∈Z）

答案　C

解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．

3.[课本改编]若sinα＜0且tanα＞0，则α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

答案　C

解析　sinα＜0，则α为第三、四象限角或y轴负半轴上的角，tanα＞0，则α为第一、三象限角，故α为第三象限角．选C.

4．若角α终边上有一点P（x,5），且cosα＝（x≠0），则sinα＝________.

答案　

解析　∵cosα＝＝，x＝±12，∴sinα＝.

5．[2018·石家庄模拟]已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα＜0，则tanα＝________.

答案　－1

解析　如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P（x，y），则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝＝＝－1.

板块二　典例探究·考向突破

考向　象限角及终边相同的角

例　1　

（1）设集合M＝，N＝，判断两集合的关系（　　）

A．M＝NB．MN

C．NMD．M∩N＝∅

答案　B

解析　解法一：

由于M＝

＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.

解法二：

在集合M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·（2k＋1），2k＋1是奇数；在集合N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B.

（2）设角α是第二象限的角，且＝－cos，则是第________象限角．

答案　三

解析　因为α是第二象限角，所以是第一或第三象限角．又因为＝－cos，所以cos<0.故是第三象限角．

触类旁通

终边相同角的集合的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

【变式训练1】　

（1）[2018·潍坊模拟]集合

中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）

答案　C

解析　当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．

（2）[2018·绵阳质检]点A（sin2018°，cos2018°）在直角坐标平面上位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案　C

解析　sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0.选C项．

考向　三角函数的定义及其应用

命题角度1　利用定义求三角函数值

例　2　已知角α的终边经过点P（－4a,3a）（a<0），则2sinα＋cosα的值为（　　）

A．－B.

C．0D.或－

答案　A

解析　因为x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以r＝－5a，

所以sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝2×＋＝－.故选A.

命题角度2　判断三角函数值的符号

例　3　若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

答案　C

解析　角α在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足题意．选C项．

命题角度3　利用三角函数的定义求参数的值

例　4　已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sinα＝，求cosα，tanα的值．

解　由题设知x＝－，y＝m，

∴r2＝|OP|2＝（－）2＋m2（O为原点），r＝.

从而sinα＝＝＝，

∴r＝＝2，于是3＋m2＝8，解得m＝±.

当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，

∴cosα＝＝－，tanα＝－；

当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，

∴cosα＝＝－，tanα＝.

触类旁通

三角函数定义问题的常见类型及解题策略

（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：

先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

（2）已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值（sinα，cosα，tanα）中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．

考向　扇形的弧长、面积公式的应用

例　5　若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________．

答案　

解析　设圆心角是θ，半径是r，

则⇒（舍）或

故扇形的圆心角为.

　若去掉本例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

解　设圆心角是θ，半径是r，

则2r＋rθ＝10.

S＝θ·r2＝r（10－2r）＝r（5－r）

＝－2＋≤，

当且仅当r＝时，Smax＝，θ＝2.

所以当r＝，θ＝2时，扇形面积最大．

触类旁通

弧长和扇形面积的计算方法

（1）在弧度制下，记住下列公式

①弧长公式：

l＝|α|r；②扇形的面积公式：

S＝lr＝|α|r2（其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径）．

（2）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

【变式训练2】　[2018·盐城模拟]扇形AOB的周长为8cm.

（1）若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

（1）由题意可得解得或

∴α＝＝或α＝＝6.

（2）∵2r＋l＝8，

∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值，

∴r＝2，∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.

核心规律

1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．

2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

满分策略

1.注意易混概念的区别：

象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．

3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

板块三　启智培优·破译高考

易错警示系列5——三角函数定义中忽略分类讨论致误

[2018·福州检测]若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．

错因分析　由终边上一点求三角函数时，没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，而直接求出r＝5a，导致错误．

解　设α终边上任一点为P（－4a,3a），

当a>0时，r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；

当a<0时，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

答题启示　对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.

跟踪训练

已知角θ终边上一点P（x,3）（x≠0）且cosθ＝x，求sinθ，tanθ的值．

解　∵r＝，cosθ＝，

∴x＝.

又∵x≠0，∴x＝±1.

又∵y＝3＞0，∴θ是第一或第二象限角．

当θ为第一象限角时，sinθ＝，tanθ＝3；

当θ为第二象限角时，sinθ＝，tanθ＝－3.

板块四　模拟演练·提能增分

[A级　基础达标]

1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案　B

解析　因为点P在第三象限，所以所以角α的终边在第二象限．

2．已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝（　　）

A.B．±C.D．±

答案　B

解析　∵P在单位圆上，∴x＝±.

∴tanα＝±.

3．[2018·成都模拟]已知角α＝2kπ－（k∈Z），则＋的值是（　　）

A．0B．2C．－2D．不存在

答案　A

解析　因为α＝2kπ－（k∈Z）是第二象限角，

所以sinα＞0，tanα＜0，所以＋＝1－1＝0.

4．设α是第二象限角，P（x,4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝（　　）

A.B.C．－D．－

答案　D

解析　∵α是第二象限角，∴x＜0.又由题意知＝x，解得x＝－3.∴tanα＝＝－.

5．[2018·衡中模拟]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是（　　）

A．sinB．cos

C．tanD．cos2θ

答案　C

解析　由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan＞0.故选C.

6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）

A．1B．4C．1或4D．2或4

答案　C

解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，

则解得或

从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.

7．[2018·汕头模拟]sin2·cos3·tan4的值（　　）