电磁学部分习题解答文档格式.docx
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πεθ⋅=。
此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。
对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。
以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x轴方向取直角坐标系中任一点（）zyxP,,，由点电荷的电势叠加可得：
（）⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
++⎪⎭⎫⎝⎛+-+
++⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=+=-+222
220
2241zylxqzylxq
UUPUπε
考虑到lr>
的条件，有2222zyxr++=，
1
222
22
11121
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-≈++⎪⎭⎫⎝
⎛-rxlrxlrz
ylx
上式右边经过二项展开，并略去l的高阶项（二阶及以上），得
⎪⎭⎫
⎝⎛+≈++⎪⎭⎫⎝
⎛-22
21121
rxlrz
则⎪⎭⎫⎝⎛+≈
+20214rxlrq
Uπε，⎪⎭
⎫⎝⎛-≈-20214rxlrqUπε则P点的偶极子势为
（）2
030
cos4141rPlqrxUUPUθ
πεπε⋅=⋅⋅⋅
+=-+可写成矢量表达形式：
（）30
204141rr
PrrPPU
⋅⋅=⋅⋅=πεπε（*）
下面求电偶极子的电场强度：
由（）（）PUPE-∇=
将上式带入,有
（）（）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∇⋅+⋅∇=∇33
011
41rrPrPrUπε其中，（）PrP=⋅∇，54333311r
rr
rrdrdr-=⋅-=∇⎪⎭
⎝⎛=⎪⎭
⎫⎝⎛∇，
则
⎤⎢⎣⎡-⋅=350341rPrrrPPE
πε（#）。
以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算式。
可以在具体的坐标系中直接带入计算。
变换到球坐标系（）ϕθ,,r中,由于轴对称性可知，U与ϕ无关，则
E
的分量为：
0cos241rPrUErθπε⋅
=∂∂-=，
30sin411rPUrEθπεθθ⋅=∂∂-
0sin1=∂∂-
=ϕ
θϕU
rE。
1.计算3rr
的散度：
03311325333=+-=⋅∇+⋅∇=⋅∇r
rrrrrrrr
。
2.如图所示，无限大带电层，且电荷密度（）xρρ=，试求其产生的场强。
此题需分三个区域进行计算：
取垂直于带电层的坐标OX。
（1）ax≤，取'
x到'
'
dxx+之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为σ，则（）'
dxxρσ=，则该平面在x处形成的电场强度为：
（）（）0
22ερεσ
dxxxdE=
，
（）（）'
21
dxxxEb
a
⎰
-
=⇒ρε（负号代表取坐标负向。
）
若（）常数αρ=，则
（）02εαl
xE-=；
（2）bx≥，同理可得
ρε（负号代表取坐标正向。
若（）常数αρ=，则（）0
2εαl
xE=；
（3）bxa<
<
，对于带电层中间的区域，要注意xx<
和xx>
的
情况不一样，故要进行分段积分：
（）'
dxxdxxxEb
x
⎰-
ρερε
若（）常数αρ=，则（）（）αε0
22baxxE+-=。
3.求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为λ，圆柱底面半径为R。
取半径为r、高为l的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑：
（1）Rr≤时，由高斯定理，有
2επqrlEsdES
==⋅⎰⎰
而
R
lrlrqλρπ==，则2022RlrrlEελπ=得
202RrEπελ=
（2）当Rr≥时，lqλ=，同理得到rE02πελ
=。
4.求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为q，半径为R。
以无穷远处作为电位零点，即（）0=∞U,由真空中带电球壳的场强分布：
⎪⎩
⎪
⎨⎧<
⋅=RrRrrqE,0,41
20πε
根据电位的定义求解：
对于Rr>
时，（）rq
drrqldErUrr
02
0414πεπε=⋅=⋅-=⎰⎰∞∞；
对于Rr<
时，
（）RqdrrqldEldErURRrR020414πεπε=
⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=⎰⎰⎰∞∞。
5.求无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电势分布。
解：
确立原点在平面上的坐标OX，设空间任一点P位于r处。
取）（00rP为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<
->
=0,20,20
rrEεσ
εσ
下面以0>
r的情况来讨论：
由电位定义有：
（）（）（）rrldEldEPUPUPAA
P
-=
⋅+⋅=
-⎰⎰
00
020εσ
本题中电位零点的取法很关键，注意到：
求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。
6.一半径为R的均匀带电圆面，电荷总量为q，求轴线（OX）上的电位分布，并画出xU-曲线。
在圆面上取drrr+-的圆环，由于圆面的电荷面密度：
2Rq
πσ=,故该圆环所带电量为：
rdrR
qrdrRqrdrdq2
2222=⋅=
⋅=πππσ而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上dlll+-的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：
0'
44R
xdqr
dqdU+=
πεπε，得圆环在轴线上的电位分布为：
20'
44'
RxqR
xdqUq+=
+⎰
πεπε＝环
现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令'
qdq=，
环UdU=，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：
Rx
Rq
xRqrdrR
xdqdUUR
R-+=
+=+=⎰
⎰22
20
2424επεππε＝。
7.电量q均匀分布在长为l2的细直线上，求下列各处的电位：
（1）中垂面上离带电线段中心O为r处，并用梯度求rE；
（2）延长线上离中心O为为z处，并用梯度求zE；
（3）通过一端的垂直面上离该点为r处，并用梯度求rE。
根据题意，以O为原点中垂线所在直线作为x轴、延长线所在直线作为y轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。
（1）求（）0,rP点的电位（）PU及rE：
设直线上dyyy+-的一段所带的电量为dyl
q
dq2=，由点电荷电位公式，它在（）0,rP点的电位为：
084y
rlqdyy
rdqdU+=
+=
πεπε
则整段直线在（）0,rP点的电位为：
rlrllq
y
rlqdydUUl
ll
l2
20220ln48++=+=⎰⎰--πεπε＝则有2204lrrq
rUEr+=∂∂-=πε。
（2）求（）zP,0点的电位（）PU及zE：
线元dyyy+-的电量仍然为dyl
dq2=，由点电荷电位公式，它在（）zP,0点的电位为：
（）（）yzlqdz
yzdqdU-=
-=0084πεπε
则整段直线在（）zP,0点的电位为：
（）（）lzlzl
zlqyzlqdzdUUl
l
-+=-=⎰
⎰--ln
8800
πεπε＝则有（）
2204lzqzUEz-±
=∂∂-=πε,（＋号对应
lz>
，—号对应lz-<
）。
（3）求（）lrP,点的电位（）PU及rE：
同样取线元dyyy+-，其电量仍然为
dyl
dq2=，由点电荷电位公式，
它在（）lrP,点的电位为：
则整段直线在（）lrP,点的电位为：
rlqdy
dUUl
2020
22020
42ln48++=+=⎰
⎰πεπε＝则有22044lrrq
1.（P44.8）如图所示一种电四极子，由两个相同的电偶极子l
qP
=组成，这两偶极子在一直线上，当方向相反，它们的负电荷重合在一起。
求延长线上离中心（即负电荷）为r处的电场及电位分布。
2l
-2q
+q
解一：
根据电场叠加原理，三个点的电荷在P处的场强：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+-++=2
20202
020********rlrlqlrq
rqlrqEπεπεπεπε
由lr>
，上式可以用Tayler公式展开：
利用公式
......!
21!
1112+-+
+
=+xxxααα
α
，并取二级近似，有
4
23643212321402
0222220rqlrlrqrlrlrlrlrq
Eπεπεπε=⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-≈则（）（）302
40
2123rqldrrqldrrEPUr
rπεπε=-
=-=⎰⎰∞∞。
以上为一种常规方法——运用点电荷电场叠加原理。
下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题，直接运用电偶极子的电势求解：
解二：
由偶极子专题的分析，偶极矩为lqP
=的电偶极子在空间任意
一点P处的电位为：
（）（）
lr
r
rPPU>
⋅⋅
41πε，
注意这里的'
r指的是l中点到P点的位矢。
本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示：
0241
241
⎭⎫⎝
⎛-⋅
⎭⎫
⎝
⎛+⋅
=lrql
lrql
PUπεπε，
现在同样用Tayler公式展开：
利用公式（）
，并取二级近似，得
（）3
2222202220243143142112114rqlrlrlrlrlrql
rlrlrqlPUπεπεπε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅≈⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪
⎭
⎫⎝⎛-⋅=
由（）（）（）4
2302
rqlrPUPUPEπε=∂∂-=-∇=即得P点的场强。
2.如图所示为另一种电四极子，设q和l
都已知，P点到正方形的中
心O距离为x，OP
与正方形的一对边平行，求P点的电场强度
及电位分布。
利用偶极子在中垂面上的场强分布：
30
rE⋅
将本题中的电四极子看作分别由①④和②③两个偶极子的组合，则有偶极子①④在中垂线上P点的电场强度为：
014241
lxP
Eπε，方向向下，
①+q③+q
④②-ql
偶极子②③在中垂线上P点的电场强度为：
3023241
Eπε，方向向上，则合场强：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛
+-⎪⎭⎫⎝
⎛-⋅=-=330142321214lxlxPEEEπε由lx>
（）4
222230333043232312323142112114xqlxlxlxlxlxP
xlxlxPPEπεπεπε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅≈⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛
+-⎪
于是有（）（）302
4143xqldxxqldxxEPUx
xπεπε=-
=-=⎰⎰∞∞。
此题的扩展问题：
考虑P点不在中垂面上，求解如下：
①
③+q
④l
如图所示，在极坐标下P点的坐标（）θ,r，先考虑P点的电位：
（）（）（）32414321UUUUUUUUPU+++=+++=
由偶极子专题的分析，偶极矩为lqP=的电偶极子在空间任意一点P
处的电位为：
同样这里的'
设P点相对于偶极子①④和②③的位矢分别为1r，
2r对应的与极轴的夹角为分别为1θ，2θ，则有：
311103111041sin412cos41rrPrrPUUθπεθππε⋅⋅=⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⋅=+3
2032sin41
rrPUUθπε⋅⋅-=+故⎪⎪⎭
⎝⎛-⋅=322231110sinsin4rrrrP
Uθθπε又由几何关系有2211sinsinsinθθθrrr==，且
θcos21lrr+=，θcos2
rr-=，化简略去二阶小量得
026023231
4cossin34cos3sinPr114sinPrrqlrlrrrUπεθ
θπεθθπεθ
=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=
由（）（）（）2
024cossin9rqlrPUPUPEπεθ
θ-=∂∂-=-∇=即得P点的场强。
3.如图所示。
两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为eη±
，相距为a2，求空间任一点（）yxP,的电位。
取坐标原点O点的电位为零，即（）0=OU
的电位分布公式，有：
eη+导线在P点的电位为：
（）00ln221OUdrrUera
eπεηπεη=+-=⎰
+eη-导线在P点的电位为：
00ln222ra
OUdrrUera
eπεηπεη-=+--=⎰
-在直角坐标系中，（）221yaxr+-=，（）222yaxr++=，
所以P点的电位为：
（）（）（）（）（）2
2220
0210ln
4ln2ln2lnln2yaxyaxyaxyaxrrraraUUPUee
ee+-++=+-++==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=-+πεηπεηπεηπεη本题要注意零电位的取法，对于无限的带电体，不能再取无限远处为零电位点。
另外，几种典型模型（如无限大带电平面、无限长直导线、带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电位的分布要熟悉掌握，在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。
）8.半径为a的导体，带电量为Q，球内有两个半径分别为b、c的球心空腔，中心处有电荷1q、2q。
计算导体球内、球外空间的电位
和场强。
以无穷远处作为电位零点，即（）0=∞U,
（1）导体球外：
离球心距离ar>
处的电位
rqqQU02
114πε++=
由此得场强：
rr
qqQUEˆ42
111πε++=-∇=；
（2）导体球上：
即ar=的电位为aqqQU02
124πε++=
导体内部的场强0=E
；
（3）空腔1内：
假设离空腔球心距离1r处的电位为
11
01
4CrqU+=πε由边界条件：
br=1时23UU=，得⎪⎭
⎫⎝⎛-++=bqaqqQC12101
41πε
⎪⎪⎭
⎫⎝⎛-+++=⎪⎭⎫
⎝⎛-+++=∴bqaqqQrqbqaqqQrqU1211101210101
341
414πεπεπε由此得场强：
rqUEˆ42
0133πε=
-∇=
（4）空腔2内：
同理假设离空腔球心距离2r处的电位为22
0244CrqU+=
由边界条件：
cr=2时24UU=，得⎪⎭
⎝⎛-++=cqaqqQC2210241πε
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=∴cqaqqQrqU221220441πε由此得场强：
0244πε=
9.接地导体球（半径为R），距球心为a（）aR>
处有一点电荷q。
求空间电位分布。
此题参考上课时讲的例题。
10.
点电荷q处在导体壳的中心，壳的内外半径分别为1R、2R，
求场强的分布。
并画出rE-和rU-曲线。
根据题意，导体达到静电平衡时，导体内的场强为零，导体为等势体，在1Rr=的导体面上均匀分布电量为q-的感应电荷，2Rr=的导体面上均匀分布电量为q的感应电荷。
（1）考虑2Rr>
的区域时，导体内部的电荷对外部电场没有影响，该区域的电场只由导体外表面的电荷产生，则
rqEˆ42
0πε=
故202
0442
drr
rdEURRπεπε==⋅=⎰
∞
（2）考虑21RrR<
的区域，0=E，电位如下：
202
qrdErdEURRRr
πεπε==⋅+⋅=⎰
⎰⎰
（3）考虑1Rr<
的区域时，假设电位为
Cr
qU+=
04πε则由边界条件：
1Rr=时201
044Rq
CRq
Uπεπε=
可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120114RRqCπε故⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=1201114RRrqUπε由此可得r
qUEˆ42
11.
一球形电容器内外两壳的半径分别为1R、4R，现在两壳之间
放一个内外半径分别为2R、3R的同心导体球壳。
（1）给内壳1R充以电量Q，求1R和4R两壳的电位差；
（2）求电容（即以1R和4R为两极的电容）。
（1）当内壳充电Q时，由于导体的静电感应作用，2R、3R、4R各球面上分别均匀分布电量为Q-、Q、Q-的感应电荷，故取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理可以算出不同区域的场强分布：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
⋅<
=4432
03
221201,,41,0,41,0R
rRrRrQRrRRrRrQ
RrEπεπε
则1R和4R两壳的电位差：
⎝⎛-+-=+⋅+=⋅=-⎰
432102
0411********
32
RRRRQdr
Qdrdrr
QldEUURRRRRRRRπεπεπε；
（2）由电势差和极板带电量可得电容：
⎪⎭⎫⎝⎛-+-=
-=4321
111114RRRRUUQCπε。
12.
（P17114题）收音机里用的可变电容如1
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