电磁学部分习题解答文档格式.docx

1、=。此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点（）z y x P ,，由点电荷的电势叠加可得：（）+ +-+ -=+=-+2222202241z y l x q z y l x qU U P U 考虑到l r 的条件，有2222z y x r +=，12222211121-=-+ -r xl r xl r zy l x上式右边经过二项展开，并略去l 的高阶项（二阶及以上）

2、，得+ -2221121r xl r z则 +20214r xl r qU ， -20214r xl r q U 则P 点的偶极子势为（）2030cos 4141r P l q r x U U P U =+=-+ 可写成矢量表达形式：（）30204141r rP r r P P U= （*）下面求电偶极子的电场强度：由（）（）P U P E -=,将上式带入,有（）（） +=3301141r r P r P r U 其中，（）P r P =，54333311rr rr r dr d r -=-= ，则-=350341r P r r r P P E （#）。以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算

3、式。可以在具体的坐标系中直接带入计算。变换到球坐标系（）,r 中,由于轴对称性可知，U 与无关，则E的分量为：0cos 241r P r U E r =-=，30sin 411r P U r E =-0sin 1=-=Ur E 。1. 计算3r r的散度：03311325333=+-=+=rr r r r r r r r。2. 如图所示，无限大带电层，且电荷密度（）x =，试求其产生的场强。此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标OX 。（1）a x ，取x 到dx x +之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为，则（）dx x =，则该平面在x 处形成的电场强度为：（）（）022dx

4、x x dE =，（）（）21dx x x E ba-=（负号代表取坐标负向。）若（）常数=，则（）02lx E -=；（2）b x ，同理可得（负号代表取坐标正向。若（）常数=，则 （）02lx E =；（3）b x a ，对于带电层中间的区域，要注意x x 的情况不一样，故要进行分段积分：（）dx x dx x x E bx-若（）常数=，则 （）（）022b a x x E +-=。3. 求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为，圆柱底面半径为R 。取半径为r 、高为l 的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑：（1）R r 时，由高斯定理，有2q rlE s d

5、E S=而Rlr l r q =，则 2022R lr rlE = 得202R r E =（2）当R r 时，l q =，同理得到 r E 02=。4. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为q ，半径为R 。以无穷远处作为电位零点，即（）0=U , 由真空中带电球壳的场强分布：时，（）r qdr r q l d E r U r r020414=-= ；对于R r 时，（）R q dr r q l d E l d E r U R R r R 020414=+-= 。5. 求无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电势分布。 解：确立原点在平面上的坐标OX ，设空间任一点P 位于r

6、处。 取）（00r P 为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有=0,20,20r r E 下面以0r 的情况来讨论：由电位定义有：（）（）（）r r l d E l d E P U P U P A AP-=+=-00020 本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。6. 一半径为R 的均匀带电圆面，电荷总量为q ，求轴线（OX ）上的电位分布，并画出x U -曲线。在圆面上取dr r r +-的圆环，由于圆面的电荷面密度：2R q=,故该圆环所带电量为：rdr Rq rdr R q rdr dq 22222= 而圆环在轴线上的电位分布可以

7、根据电位叠加法，取圆环上dl l l +-的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：044Rx dq rdq dU +=，得圆环在轴线上的电位分布为：2044R x q Rx dq U q +=+环现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令q dq =，环U dU =，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：R xR qx R qrdr Rx dq dU U RR -+=+=+=22202424。7. 电量q 均匀分布在长为l 2的细直线上，求下列各处的电位：（1） 中垂面上离带电线段中心O 为r 处，并用梯度求r E ； （2） 延长线上离中心O 为为z 处，并用梯度求z

8、 E ； （3） 通过一端的垂直面上离该点为r 处，并用梯度求r E 。根据题意，以O 为原点中垂线所在直线作为x 轴、延长线所在直线作为y 轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。 （1） 求（）0,r P 点的电位（）P U 及r E ：设直线上dy y y +-的一段所带的电量为dy lqdq 2=，由点电荷电位公式，它在（）0,r P 点的电位为：084yr l qdy yr dq dU +=+=则整段直线在（）0,r P 点的电位为：r l r l l qyr l qdy dU U ll ll 220220ln 48+=+=- 则有 2204l r r qr U E r +=-=。（2）

9、求（）z P ,0点的电位（）P U 及z E ：线元dy y y +-的电量仍然为dy ldq 2=，由点电荷电位公式，它在（）z P ,0点的电位为：（）（）y z l qdzy z dq dU -=-=0084则整段直线在（）z P ,0点的电位为：（）（）l z l z lz l q y z l qdz dU U ll-+=-=-ln8800 则有 （）2204l z q z U E z -=-=,（号对应l z ，号对应l z -，上式可以用Tayler 公式展开：利用公式.!21!1112+-+=+x x x ，并取二级近似，有4236432123214020222220r ql

10、r l r q r l r l r l r l r qE =+-+- 则 （）（）302402123r ql dr r ql dr r E P U rr =-=-= 。以上为一种常规方法运用点电荷电场叠加原理。下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题，直接运用电偶极子的电势求解：解二：由偶极子专题的分析，偶极矩为l q P=的电偶极子在空间任意一点P 处的电位为： （）（）l rrr P P U 41 ，注意这里的r 指的是l 中点到P 点的位矢。本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示：0241241 -+=l r qll r qlP U ，现在同样用Tayle

11、r 公式展开： 利用公式（），并取二级近似，得（）32222202220243143142112114r ql r l r l r l r l r qlr l r l r ql P U = +- + +- -=由 （）（）（）42302r ql r P U P U P E =-=-= 即得P 点的场强。2. 如图所示为另一种电四极子，设q 和l都已知，P 点到正方形的中心O 距离为x ，O P与正方形的一对边平行，求P 点的电场强度及电位分布。利用偶极子在中垂面上的场强分布：30r E 将本题中的电四极子看作分别由和两个偶极子的组合，则有 偶极子在中垂线上P 点的电场强度为：014241l x

12、 PE ，方向向下，+q +q- q l偶极子在中垂线上P 点的电场强度为：3023241E ，方向向上， 则合场强： +- -=-=330142321214l x l x P E E E 由l x （）4222230333043232312323142112114x ql x l x l x l x l x Px l x l x P P E = +- + +-于是有 （）（）3024143x ql dx x ql dx x E P U xx =-=-=。此题的扩展问题：考虑P 点不在中垂面上，求解如下：+ql如图所示，在极坐标下P 点的坐标（）,r ，先考虑P 点的电位：（）（）（）3241

13、4321U U U U U U U U P U +=+=由偶极子专题的分析，偶极矩为l q P =的电偶极子在空间任意一点P处的电位为：同样这里的设P 点相对于偶极子和的位矢分别为1r ，2r 对应的与极轴的夹角为分别为1，2，则有：311103111041sin 412cos 41r r P r r P U U =-=+ 32032sin 41r r P U U -=+ 故 -=322231110sin sin 4r r r r PU 又由几何关系有 2211sin sin sin r r r =，且cos 21l r r +=，cos 2r r -=，化简略去二阶小量得0260232314

14、cos sin 34cos 3sin Pr 114sin Pr r ql r lr r r U =-= -=由 （）（）（）2024cos sin 9r ql r P U P U P E -=-=-= 即得P 点的场强。3. 如图所示。两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为e ，相距为a 2，求空间任一点（）y x P ,的电位。 取坐标原点O 点的电位为零， 即 （）0=O U的电位分布公式，有：e +导线在P 点的电位为：（）00ln 221O U dr r U e r ae =+-=+e -导线在P 点的电位为：00ln 222r aO U dr r U e r

15、ae -=+-=- 在直角坐标系中，（）221y a x r +-=，（）222y a x r +=，所以P 点的电位为：（）（）（）（）（）222200210ln4ln 2ln 2ln ln 2y a x y a x y a x y a x r r r a r a U U P U e ee e +-+=+-+= -=+=-+ 本题要注意零电位的取法，对于无限的带电体，不能再取无限远处为零电位点。另外，几种典型模型（如无限大带电平面、无限长直导线、带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电位的分布要熟悉掌握，在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。） 8. 半径为a 的导体，带电

16、量为Q ，球内有两个半径分别为b 、c 的球心空腔，中心处有电荷1q 、2q 。计算导体球内、球外空间的电位和场强。以无穷远处作为电位零点，即（）0=U , （1） 导体球外：离球心距离a r 处的电位r q q Q U 02114+=由此得场强： r rq q Q U E 42111+=-= ； （2） 导体球上：即a r =的电位为 a q q Q U 02124+=导体内部的场强 0=E；（3） 空腔1内：假设离空腔球心距离1r 处的电位为11014C r q U += 由边界条件：b r =1时23U U =，得 -+=b q a q q Q C 1210141 -+=-+=b q a

17、 q q Q r q b q a q q Q r q U 1211101210101341414由此得场强：r q U E 420133=-= （4） 空腔2内：同理假设离空腔球心距离2r 处的电位为 220244C r q U +=由边界条件：c r =2时24U U =，得-+=c q a q q Q C 2210241 -+=c q a q q Q r q U 221220441由此得场强：0244=9. 接地导体球（半径为R ），距球心为a （）a R 处有一点电荷q 。求空间电位分布。此题参考上课时讲的例题。 10.点电荷q 处在导体壳的中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ，求场强

18、的分布。并画出r E -和r U -曲线。根据题意，导体达到静电平衡时，导体内的场强为零，导体为等势体，在1R r =的导体面上均匀分布电量为q -的感应电荷，2R r =的导体面上均匀分布电量为q 的感应电荷。（1） 考虑2R r 的区域时，导体内部的电荷对外部电场没有影响， 该区域的电场只由导体外表面的电荷产生，则r q E 420=故 2020442dr rr d E U R R = （2）考虑21R r R 的区域，0=E ，电位如下：202q r d E r d E U R R R r=+=（3）考虑1R r 的区域时，假设电位为C rq U +=04 则由边界条件：1R r =时

19、201044R qC R qU =可得 -=120114R R q C 故 -+=1201114R R r q U 由此可得 rq U E 42 11.一球形电容器内外两壳的半径分别为1R 、4R ，现在两壳之间放一个内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳。 （1） 给内壳1R 充以电量Q ，求1R 和4R 两壳的电位差； （2） 求电容（即以1R 和4R 为两极的电容）。（1）当内壳充电Q 时，由于导体的静电感应作用，2R 、3R 、4R 各球面上分别均匀分布电量为Q -、Q 、Q -的感应电荷，故取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理可以算出不同区域的场强分布：=443203221201,41,0,41,0Rr R r R r Q R r R R r R r QR r E 则1R 和4R 两壳的电位差：-+-=+=-4321020411*32R R R R Q drQ dr dr rQ l d E U U R R R R R R R R ；（2） 由电势差和极板带电量可得电容： -+-=-=4321111114R R R R U U Q C 。 12.（P 17114题）收音机里用的可变电容如1