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Q=kn…COn'

c。

2P©

1m‘P®

n）=—。

设任一事件A，匕是由CO1Q2m组成的，则有

P（A）={（d）U（⑷2）U…U（⑷m）}=P（%）+P伸2）十…+P俾m）

mA所包含的基本事件数

-n基本事件总数

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，冋时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

概型。

对任一事件A,

P（A）-（）。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L（0）

（10）加法

公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BUA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Q时，P（B）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>

0，则称P（AB）为事件A发生条件下，事

P（A）

件B发生的条件概率，记为P（B/A）=P（AB）。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Q/B）=1二P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法

乘法公式：

P（AB）=P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A,A,…A,若P（AA…An-1）>

0,则有

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）......P（An|A1A2…An一1）

（14）独立

性

①两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）aO，则有

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相

互独立。

必然事件。

和不可能事件？

与任何事件都相互独立。

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；

P（BC）=P（B）P（C）；

P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么AB、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概

设事件Bi,B2,…，Bn满足

1°

B1,b2,,Bn两两互不相容，P（Bi）>

O（i—人2，,n），

AuUBi

z，

则有

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）。

（16）贝叶斯公式

设事件B1,B2，…，Bn及A满足

B1,B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）>

o,i=1,2，…，n,

AuUBi

iP（A）A0

则

P（Bi）P（A/Bi）

P（Bi/A）=———,i=1,2,…n。

乞P（Bj）P（A/Bj）

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi）,（iT,2，…,n），通常叫先验概率。

P（Bi/A）,（匸1,2，…，

n）,通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与

否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验a发生的概率，则a发生的概率为〔—p—q，用Pn（k）表

示n重伯努利试验中A出现k（°

兰k'

n）次的概率，

_....kkn-k

Pn（k）=Cnpqk=0,1,2，…,n

第二章随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为X<

（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=Xk）=pk,k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形

式给出：

X|X1,X2,…,Xk,…

P（X=xk）p1,p2,…,pk,…。

显然分布律应满足下列条件：

XPk=1

（1）pk色°

k=12，…,

（2）7。

（2）连续型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数x,

有

F（x）=*（x）dx

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称

概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

f（x）3°

。

b°

f（x）d^1

。

（3）离散与连续型随机变量的关系

P（X=x）吒P（xvX兰x+dx）叱f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（Xxk）pk在离

散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布

设X为随机变量，X是任意实数，则函数

函数

F（x）

=P（X兰x）

称为随机变量

X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（a

Eb）=F（b）—F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。

分布

函数F（x）表示随机变量落入区间（-a,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

F（X）兰1,—co£

X£

；

F（x）是单调不减的函数，即xicX2时，有F（xi）兰F（X2）；

F（—°

o）=limf（x）=0,f（十处）=limF（x）=

4°

F（x+0）=F（x），即F（x）是右连续的；

5°

P（X=x）=F（x）-F（x-0）。

对于离散型随机变量，F（x）=：

Zpk；

对于连续型随机变量，F（x）=ff（x）dx。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为

p。

事件A发生

的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为

0,1,2…,n。

kknk

P（X=k）=Pn（k）=CnPq,

其中

q=1—p,0vpv1,k=0,1,2，…，n,

则称随机变量X服从参数为n,p的二

项分布。

记为

X~B（n,p）。

当n=1时，P（X=k）=pkqJ,k=0.1，这就是（0-1）分

布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

P（X二k）二’e—'

■0,k=0,1,2,

几何分布

均匀分布

则称随机变量X服从参数为■的泊松分布，记为X~二（，）或者P（■）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nis）。

P（X=k）=qk°

p,k=1,2,3，…，其中p》0,q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在［a,

b］上为常数，即

b—a

其他，

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

分布函数为

0,x<

x—a

丿b-aa<

xwb

F（x）=J=f（x）dx=

1,x>

b。

当awX1<

X2Wb时，X落在区间（x1，x2）内的概率为

x2一x1

P（%:

X：

：

x2）=21。

b—a

指数分布

x一0

x：

其中’0，则称随机变量X服从参数为’的指数分布。

X的分布函数为

1_e_'

F（x）二

x-0

0。

记住积分公式:

正态分布

设随机变量

X的密度函数为

（x-k）2

f（x）

•e寸,

—CO<

十^,

J2"

其中卩

、

0为常数，则称随机变量X服从参数为4、

Gauss）分布,

记为X〜N（4q）O

7的止态分布或咼斯（

f（X）具有如下性质：

f（x）的图形是关于x=4对称的；

2°

当X二

显时，f

（巴-1

为取大值；

V2兀er

若X〜N（巴「

5），则

O。

（中2

F（xr

7^'

Hdt

参数卩=0

坊=1时的正态分布称为标准正态分布，记为

X〜N（O,1）1,

其密度函数记为

讣矿2

CX£

+°

分布函数为

V+2

①（x）=—

[e2dto

J2兀

w（x）是不可求积函数，

其函数值，已编制成表可供查用。

①（-X）=1-

①（x）且①

（0）=-o

X-不则N（

如果X~N（巴^2）,

0,1）O

x2、

仅1-叮

P（x^X

兰x2）=Q

2①

（6）分位

上分位表：

~）—

数

P（X七）=

（7）函数

离散型

已知X的分布列为

X1,X2,

xn,

P（X=Xi）

P1,P2

…，pn,…

Y=g（X）的分布列（

yi=g（xj互不相等）如下：

g（x1）,g（x2）,…,g（xn）,…

P（Y=yJ若有某些g

（Xi）P相自等,^^则应将对应的T

pi相加作为g（xi）的概率。

连续型

先利用X的概率密度

fx（x）写出Y的分布函数FY（y）=P（g（X）<

y），再利用变上下限积分的求导公式求出fWy）o

为.=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分

（1）pj>

0（i,j=1,2,…）;

（2）八pj-1.

对于二维随机向量=（X,Y）,如果存在非负函数

f（x,y）（」：

=,-：

y，使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={（X,Y）|a<

b,c<

P{（X,Y）DHf（x,y）dxdy,

则称•为连续型随机向量；

并称f（x,y）为'

=（X,Y）的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）>

（2）f（x,y）dxdy=1.

（2）二维随机变量的本质

Z（X=x,Y=y）=E（X=xPlY=y）

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数X,y,二元函数

F（x,y）=P{XMx,YMy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函

数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（dQ2）1"

cX（⑷j^x,"

vY@2）兰y}的概率为函数值的一个实值函

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0兰F（x,y）兰1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当X2>

X1时，有F（X2,y）>

F（xI,y）;

当y2>

yi时，有F（x,y2）>

F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）;

（4）F（_n,_°

o）=F（一叫y）=F（x,-°

o）=0,F（+oo,+oq）=1.

（5）对于花ex?

y^y2,

F（X2,y2）—F（X2,yj—F（X1,y?

）+Fgyj兰0.

（4）离散型与连续型的关系

P（X=x,Y=y）俺P（xvX兰x+dx,yvY兰y+dy）叱f（x,y）dxdy

（5）边缘分布

X的边缘分布为

R』P（X=Xi）=EPj（i,j=1,2,…）；

Y的边缘分布为

P.=P（Y=yj"

Pij（i,j=1,2,…）。

X的边缘分布密度为

fx（x）=O（x,y）dy;

Y的边缘分布密度为

fY（y）=0（x,y）dx.

（6）条件

在已知X=x的条件下，

Y取值的条件分布为

P（Y=yj|Xy

）=

Pij.叽’

在已知Y=y的条件下，

X取值的条件分布为

P（X=Xj|Y=yj）=

Pij

X的条件分布密度为

;

Y的条件分布密度为

（7）独立

一般型

F（X,Y）=Fx（x）FY（y）

Pij=PiJ3d

有零不独立

f（x,y）=fX（x）fY（y）直接判断，充要条件

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

—1

1丘41药2化x_n）（y44）$_q养丨

P（1_P）£

o1丿―<

K52丿

1\入，y丿：

—

2吨io'

2寸1-

D•

P=0

随机变量的

若X1,X2，…Xm,Xm+1,•

X相互独立，h,g为连续函数，

则：

h（X1,X2,…Xm）和

g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（8）二维

设随机向量（

X,Y）的分布密度函数为

f（x,y）=丿

（x,沪D

其他

其中Sd为区域

D的面积，则称（X

Y）

服从D上的均匀分布，记为（

X,Y）〜

U（D）。

（9）二维正态分布

设随机向量（X,Y的分布密度函数为

1.p一叮2©

U4）（y_U）/_叮〕

一、12（1_芦）］冷丿CTO2laj

f（x,y）=e△'

、

2兀CT102J1_P2

其中円，込<

11a0,<

2=0,1P|v1是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）〜N（卩h，屯裁二口；

，P）.

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X〜N（4r）,Y~N（卩2,<

t；

）.

但是若X〜N（^1^12）,Y~NOl2^|）,（X,Y）未必是二维正态分布。

（10）函数

Z=X+Y

根据定义计算：

Fz（z）=P（ZEz）=P（X+YEz）

-bo

对于连续型，fz（z）=Jf（x,z_x）dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（比+卩？

^；

）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

4=送CH,石2=瓦Ci2®

Z=max,min（

Xl,X2,…Xn）

若Xi,X2…Xn相互独立，其分布函数分别为

Fx,（x）,Fx2（x）…（x），则Z=max,min（X1,X2，…Xn）的分布

函数为：

Fmax（x）=Fxr（x）*FX2（xp'

（x）

Fmin（x）=1-[1-Fx（x）]叩—Fx2（x）]…[1—F^X）]

聲分布

设n个随机变量Xi,X2，…，Xn相互独立，且服从标准正态分

布，可以证明它们的平方和

W=送Xi

/2分布满足可加性：

设

Yi-3（nJ,

Z=送Yi~X2（ni+n2+…+nk）・

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N（0,1）,Y~厂（n）,

VY/n

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）。

ty（n）=-怙（n）

F分布

设X~鼻2（nJ,Y~厂（n2），且X与Y独立，可以证明

lX/ni

F的概率密度函数为

Y/n2

我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，记为F〜f（ni,n2）.

F1总（ni,n2）_

FMn2,ni）

第四章

随机变量的数字特征

（i）

一维随机变量的数字特征

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布

律为p（X=Xk）=p<

k=1,2,…,n,

E（X）^LXkPk

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密

度为f（x）,

E（X）=|[xf（x）dx

-^0

函数的期望

Y=g（X）

E（Y）=5：

g（Xk）pk

E（Y）=Jg（x）f（x）dx

方差

D（X）=E[X-E（X）],

标准差

%x）=Jd（x）,

D（x）=2；

[Xk—E（X）]2pk

■bo

D（X）=f[x—E（X）]f（x）dx

矩

1对于正整数k，称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即

vk=E（X）=无Xikpi,

k=1,2,…

2对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幕的数学期

望为X的k阶中心矩，记为4k,即

巴=E（X_E（X））k

=送（Xi-E（X））Pi,

1对于正整数k,称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即

k-bek

vk=E（X）=[xf（x）dx,

2对于正整数k,称随机变量X与E（X）差的k次幕的数学期望为X

的k阶中心矩，记为Pk，即

和=E（X_E（X））k

=fjx—E（X））f（x）dx,

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=□，方差D（X）=^2，则对于任意正数£

有下列切比雪夫不等式

1a2

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P（X—円5

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）

期望的性质

（1）E（C）=C

（2）E（CX）=CE（X）

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