概率知识点和公式文档格式.docx

1、 Q = kn CO n ,c。 12P1mPn）=。n设任一事件 A，匕是由CO 1Q2m组成的，则有P（A） = （d）U （ 2）UU （ m） = P（%） + P伸 2）十+ P俾 m）m A所包含的基本事件数-n 基本事件总数（9）几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 冋时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,P（A） - （）。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。L（0）（10）加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 当 P（AB） = 0 时，P（A+B）=P（A）+P（

2、B）（11）减法P（A-B）=P（A）-P（AB）当 BUA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当 A=Q 时，P（ B）=1- P（B）（12）条件 概率定义 设A、B是两个事件，且 P（A）0，则称P（AB）为事件A发生条件下，事P（A）件B发生的条件概率，记为 P（B / A） = P（AB）。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P（ Q /B）=1 二 P（B/A）=1-P（B/A）（13）乘法乘法公式：P（AB） = P（A）P（B/A）更一般地，对事件 A, A,A,若P（AAAn-1） 0,则有P（A1A2 An） =P（A1）P（A2| A1）P（A3|

3、 A1A2）. P（An| A1A2 An 一1）7 o（14）独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P（AB） = P（A）P（B），则称事件A、 B是相互独立 的。若事件A、B相互独立，且P（A）aO，则有P（A） P（A）若事件 A、 B相互独立，则可得到 A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件。和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B） ； P（BC）=P（B）P（C） ； P（CA）=P（C）P（A） 并且同时满足 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A B、C相互独立。

4、对于n个事件类似。（15）全概设事件Bi,B2,，Bn满足1 B1, b2, , Bn 两两互不相容，P（Bi）O（i人2， ,n），Au U Bi z ，则有P（A） = P（B1）P（A| B1） +P（B2）P（A| B2） + + P（Bn）P（A| Bn）。（16）贝叶 斯公式设事件B1 , B2，Bn及A满足 B1, B2，Bn两两互不相容，P（Bi）o, i=1, 2，n ,AuU Bi i P（ A） A 0则P（Bi）P（A/Bi）P（Bi / A）= ,i=1 , 2,n。乞 P（Bj）P（A/Bj）jm此公式即为贝叶斯公式。P（Bi） , （ iT , 2，,n ），通常

5、叫先验概率。P（Bi / A）,（匸1 , 2，n ）,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努 利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用p表示每次试验a发生的概率，则a发生的概率为 p q，用Pn（k）表示n重伯努利试验中A出现k（兰kn）次的概率，_. . . k k n -kPn（k） =Cn p q k =0,1,2，,

6、n第二章随机变量及其分布（1）离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量 X的可能取值为X（k=1,2,）且取各个值的概率，即事 件（X=Xk）的概率为P（X=Xk）=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X | X1, X2,Xk,P（X =xk） p1, p2,pk,。显然分布律应满足下列条件：COX Pk = 1（1） pk 色 , k =12，,（2） 7 。（2）连续 型随机变 量的分布 密度设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 f（x），对任意实数x ,有xF（x） = * （x）dx则称X为连续型随机变量。

7、 f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质： f（x）3。fbf（x）d1 。（3）离散 与连续型 随机变量 的关系P（X =x）吒 P（x vX 兰 x +dx）叱 f （x）dx积分元f （x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与 P（X xk） pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布设X为随机变量，X是任意实数，则函数函数F（x）=P（X 兰 x）称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P（acXEb） =F（b） F（a） 可以得到X落入区间（a,b的概率。分布函数F（x）表示随机变量落入区间（- a, x内的概率。分布函

8、数具有如下性质：0 F（X）兰 1, co X ；F （x）是单调不减的函数，即 xi c X2时，有 F （xi）兰F（X2）；F（o） = lim f（x）=0, f（十处）= lim F（x） =1;4 F（x+0） =F（x），即F（x）是右连续的；5 P（X =x） = F（x）-F（x-0）。对于离散型随机变量， F（x） = ：Z pk ；xVX对于连续型随机变量， F （x） = f f （x）dx。a（5）八大 分布0-1分布P（X=1）=p, P（X=0）=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为 X，则X可能取值为0,1,2

9、,n。k k n kP（X =k）=Pn（k）=CnP q ,其 中q =1 p,0 v p v1,k =0,1,2，n ,则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记为X B（n, p）。当 n=1 时，P（X=k） = pkqJ , k = 0.1，这就是（0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP（X 二 k）二e , 0, k =0,1,2 ,k!几何分布均匀分布则称随机变量 X服从参数为的泊松分布，记为 X 二（，）或 者 P（ ）。泊松分布为二项分布的极限分布（ np=入，nis）。P（ X =k） =qkp,k = 1,2,3，其

10、中 p0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G（p）。设随机变量 X的值只落在a , b内，其密度函数 f（x）在a ,1b上为常数 ，即b aa x b其他，则称随机变量 X在a , b上服从均匀分布，记为 XU（a, b）。 分布函数为0, xa,x a丿 b -a a x w bx rF （x） = J=f （x）dx =b。当aw X1X2W b时，X落在区间（x1，x2）内的概率为x2 一 x1P（% : X ：x2） = 2 1。b a指数分布x 一0x ： 0其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为1 _e_F（x）二x - 0x0。记住积分

11、公式:正态分布设随机变量X的密度函数为（x-k）2f（x） e寸,CO X 0为常数，则称随机变量 X服从参数为4、Gauss）分布,2记为XN（4q ） O7的止态分布或咼斯（f（X）具有如下性质： f（x）的图形是关于x = 4对称的；2 当 X 二显时，f（巴-1为取大值；V 2 兀 er若XN（巴5 ），则O。（中2x ! F（xr7 H dt参数卩=0坊=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N（O,1）1,其密度函数记为讣矿25C X + ,分布函数为V + 2（x） = e 2 dt oJ2兀w（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-X）= 1-（x）且（0）

12、=-oX -不 则 N （如果X N（巴2）,0,1） Ox2 、仅1 -叮P（xX兰 x2 ） = Q2 1 O（6）分位上分位表：）_7 数P（X 七）=CC（7）函数离散型已知X的分布列为X1, X2,xn,P（X =Xi）P1, P2，pn,Y =g（X）的分布列（yi =g（xj互不相等）如下：Yg（x1）, g（x2）,g（xn）,P（Y = yJ 若有某些g（Xi）P相自等,则应将对应的Tpi相加作为g（xi）的概率。连续型先利用X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数 FY（y） = P（g（X） 0 （i,j=1,2,）;（2） 八 pj -1.i j对于二维随机向量 =（X,

13、Y）,如果存在非负函数f（x, y）（： =,-： : y ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即D=（X,Y）|ab,cy 0;（2）f （x,y）dxdy =1.（2）二维 随机变量 的本质Z（X =x,Y = y） =E（X =xPlY = y）（3）联合 分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 X,y,二元函数F（x,y）=PX Mx,YMy称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件（dQ2）1 cX（j x, vY2）兰y的概率为函数值的一个实值函分布函数F（x,y）具有以下的基本性质

14、：（1）0 兰 F（x, y）兰 1;（2）F（x,y ）分别对x和y是非减的，即当 X2X1 时，有 F （ X2,y ） F（x I,y）;当 y2yi 时，有 F（x,y 2） F（x,y 1）;（3）F （x,y ）分别对x和y是右连续的，即F（x, y） =F（x +0, y）, F（x, y） = F（x, y +0）;（4） F （_n, _o） = F （一叫 y） =F （x,-o） =0, F （+oo,+oq） =1.（5）对于花 ex?, yy2,F（X2, y2） F（X2, yj F（X1, y?） + Fg yj 兰0.（4）离散 型与连续 型的关系P（X =x,

15、 Y = y）俺 P（x v X 兰 x + dx, y vY 兰 y + dy）叱 f （x, y）dxdy（5）边缘 分布X的边缘分布为RP（X=Xi）=E Pj（i, j=1,2,）；jY的边缘分布为P. =P（Y=yj Pij（i,j=1,2,）。iX的边缘分布密度为fx（x） = O（x, y）dy;Y的边缘分布密度为fY（y）= 0 （x, y）dx.（6）条件在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为P（Y = yj |Xy）=Pij . 叽在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为P（X =Xj |Y = yj）=PijX的条件分布密度为;Y的条件分布密度为（7）独立一般型F（X,

16、Y）=F x（x）F Y（y）Pij =PiJ3d有零不独立f（x,y）=f X（x）f Y（y） 直接判断，充要条件可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分 布 11 丘41药 2 化x_n）（y44）$_q 养丨P（1_P）o1 丿 K52 丿1 入，y丿 ：2 吨 i o 2 寸1 - D P2P = 0随机变量的若 X1,X2，Xm,X m+1, X相互独立，h,g为连续函数，则：h （X1, X2,Xm）和g （ Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h （X）和g （Y）独立。 例如：若 X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维设随机向量（X, Y）的分布密度

17、函数为f（x,y）=丿SD（x,沪 D0,其他其中Sd为区域D的面积，则称（XY）服从D上的均匀分布，记为（X, Y）U（ D）。（9）二维 正态分布设随机向量（X, Y的分布密度函数为1 . p一叮 2U4）（y_U）/_叮一、 1 2（1_芦）冷丿 CTO2 la jf（x, y） = e 、2兀CT 10 2 J1 _ P2其中円，込11 a0,!2 =0,1 P|v1是5个参数，则称（X, Y）服从二维正态分 布，记为（X，Y）N （卩h，屯裁二口；，P）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，即 XN （4r ）,Y N （卩2,t；）.但是若XN（

18、 112）,Y NOl2|） , （X , Y）未必是二维正态分布。（10）函数Z=X+Y根据定义计算：Fz（z） = P（Z Ez） = P（X + YEz）-bo对于连续型，fz（z） = Jf（x, z_x）dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 比+卩？,； ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。4=送 CH ,石2 =瓦 Ci2i iZ=max,mi n（Xl,X2,Xn）若Xi,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx, （x）, Fx2 （x）（x），则 Z=max,min（X 1 ,X2，Xn）的分布函数为：Fmax（x） = Fxr （x） *FX2（xp （

19、x）Fmin （x） =1 -1 - Fx （x）叩Fx2 （x）1 FX）聲分布设n个随机变量Xi, X 2，X n相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和W =送 Xii 4/2分布满足可加性：设Yi - 3 （nJ,Z =送 Yi X 2（ni + n2 + nk）t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且X N（0,1）,Y 厂（n）,VY/ n我们称随机变量 T服从自由度为n的t分布，记为Tt（n）。ty（ n）=-怙（n）F分布设X 鼻2（nJ,Y厂（n2），且X与Y独立，可以证明l X /niF 的概率密度函数为Y / n2我们称随机变量F服从第一个自由度为 ni,第二

20、个自由度为 n2 的F分布，记为 Ff（n i, n 2）.F1 总（ni, n2） _FM n2,ni）第四章随机变量的数字特征（i）一维 随机 变量 的数 字特 征期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为 p（ X =Xk ） = pk=1,2,n ,E（X）L XkPk（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x）,E（X） = |xf （x）dx-0函数的期望Y=g（X）E（Y）=5： g（Xk）pkkAE（Y）= Jg（x）f（x）dx方差D（X）=EX-E（X）,标准差%x）=Jd（x）,D（x）=2； Xk E（X）2pkboD（X）= fx E（X） f（

21、x）dx矩1对于正整数k，称随机变量X 的k次幕的数学期望为 X的k 阶原点矩，记为Vk,即v k=E（X）=无 Xikpi ,k=1,2,2对于正整数k，称随机变量X 与E （X）差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩，记为4k , 即巴=E（X _E（X）k=送（Xi -E（X） Pi ,1对于正整数k,称随机变量X的 k次幕的数学期望为 X的k阶原点 矩，记为Vk,即k -be kv k=E（X）= x f（x）dx,2对于正整数k,称随机变量X与 E（X）差的k次幕的数学期望为 X的k阶中心矩，记为Pk，即和= E（X _E（X）k= fjxE（X） f（x）dx,切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望 E （X） =，方差D （X） =2，则对于 任意正数 ,有下列切比雪夫不等式1 a23切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率P（ X 円 5的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望 的性 质（1）E（C）=C（2）E（CX）=CE（X）