中考数学真题分类汇编套专题十八二次函数的图象和性质.doc
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28．（2010广东中山）如图
（1），
（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得ΔFMN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明ΔFMN∽ΔQWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，ΔPQW为直角三角形？
当x在何范围时，ΔPQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？
求此时MN的值．
．
【答案】解：
（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点，
∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN
∴ΔFMN∽ΔQWP
（2）由题意可得DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分别得=，
=+
=+
①当=+时，+=++
解得
②当=+时，+=++
此方程无实数根
③=+时，=+++
解得（不合题意，舍去），
综上，当或时，ΔPQW为直角三角形；
当0≤x＜或＜x＜4时，ΔPQW不为直角三角形
（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；
②当4＜x≤6时，=+=+
=
当x=5时，取得最小值2，
∴当x=5时，线段MN最短，MN=．
29．（2010湖南常德）如图9,已知抛物线与轴交于A（－4，0）和B（1，0）两点，与轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
x
y
O
B
C
A
图9
【答案】解：
（1）由二次函数与轴交于、两点可得：
解得：
故所求二次函数的解析式为．
（2）∵S△CEF=2S△BEF,∴
∵EF//AC,∴,
∴△BEF～△BAC,
∴得
故E点的坐标为（,0）.
（3）解法一：
由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有 解得：
故直线的解析式为．
若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：
＝
＝
即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）
解法二：
延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为（，则有:
＝
＝
＝
＝
＝＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标
为（－2，－3）
30．（2010湖南郴州）如图
（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图
（2）），与的面积大小关系如何？
当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
第26题
图
（1）
图
（2）
【答案】
（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
（2）当b＝0时，直线为，由解得，
所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
，
所以（利用同底等高说明面积相等亦可）
当时，仍有成立.理由如下
由，解得，
所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），
作轴，轴，垂足分别为F、G，则，
而和是同底的两个三角形，
所以.
（3）存在这样的b.
因为
所以
所以，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，为直角三角形
因为
所以，而
所以，解得，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
31．（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1,-4）.
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：
当直线与此
图象有两个公共点时，的取值范围.
图9
【答案】解;
（1）因为M（1,-4）是二次函数的顶点坐标，
所以
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）
（2）在二次函数的图象上存在点P，使
设则，又,
图1
∴
∵二次函数的最小值为-4，∴.
当时，.
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分
（3）如图1，当直线经过A点时，可得……………8分
当直线经过B点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为
32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在
（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
【答案】
（1）点C的坐标是（4，0）；
（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：
解得，∴抛物线的解析式是：
y=x2+x+2．
（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．
①若CQ=PC，如图所示，则PC=CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．
②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．
③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=（-t），解得t=．
（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：
y=x，因而有x=x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）．
33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．
【答案】
（1）证明：
依题意，，是一元二次方程的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得，．
∴，．∴．
（2）解：
依题意，，∴．
由
（1）得．
∴．
∴二次函数的最小值为．
34．（2010湖北恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】解：
（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：
所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴=．
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积．
35．（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
－1
y
x
O
（第24题）
1
2
3
4
－2
－4
－3
3
－1
－2
－3
－4
4
1
2
② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
【答案】解：
（1）∵抛物线经过原点，
∴m2—3m+2=0.
解的m1=1，m2=2.
由题意知m≠1.
∴m=2，
∴抛物线的解析式为
∵点B（2，n）在抛物线，
n=4.
∴B点的坐标为（2，4）
（2）①设直线OB的解析式为y=k1x
求得直线OB的解析式y=2x
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，
可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）．
根据题意做等腰直角三角形PCD，如图1.
可求得点C的坐标为（3a，2a），
有C点在抛物线上，
得2a=－x（3a）2+x3a.
即a2—a=0
解得a1=，a2=0（舍去）
∴OP=
②依题意作等腰直角三角形QMN.
设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=－x+5
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：
CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，
可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．
∴PQ=DP=4t
∴t+4t+2t=10
∴t=
第二种情况：
PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．
此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位，
∴OQ=10－2t
∵F点在直线AB上
∴FQ=t
∵MQ=2t
∴PQ=MQ
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