平行四边形的判定第三课时Word文档格式.docx

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　学生尝试画图,教师巡视指正,引导学生观察总结:

三角形有三条中位线.

　教师画出三角形的一条中线和一条中位线,追问:

说出三角形的中位线与中线有何相同点和不同点.

　学生独立思考并回答,教师归纳总结:

　相同之处:

都是和边的中点有关的线段.

　不同之处:

三角形中位线的两个端点都是边的中点;

三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的顶点.

　[设计意图]　这两个概念容易混淆,通过画图比较,巩固学生对中位线概念的理解,培养学生严谨细致的学习习惯.

　思路二

　　[过渡语]　下面,我们一起来动手实践探索.

　请你做一做（让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）:

（1）找出三边的中点.

（2）连接六点中的任意两点（边除外）.

　（3）找找哪些线是你已经学过的,哪些是未曾学过的?

　学生根据老师要求画出图形,如图所示,并说出已经学过的线段有AF,BE,CD,未曾学过的线段有DE,DF,EF.

没有学过的线段有什么特点呢?

　学生发现:

线段DE,DF,EF的端点都是三角形的边的中点.

　教师明确:

连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图,DE,EF,DF是三角形ABC的3条中位线.

　跟踪训练:

　①如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为△ABC的　　　　;

　②如果DE为△ABC的中位线,那么D,E分别为AB,AC的　　　　. 

　答案:

①中位线　②中点

　师生总结:

一个三角形有三条中位线.三角形的中位线和三角形的中线不一样,三角形的中位线是连接两边中点的线段,而三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段.

　[设计意图]　在本环节,经过动手操作,学生会发现有3条是已经学过的中线,有3条是没有学过的.最终给出三角形中位线的定义,也引出了本节课的课题:

三角形的中位线.这样做,既让学生得出三角形中位线的概念,又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线.为了使学生加深对三角形中位线的概念的理解,为后面的探究打下基础,设立了以上两道简单的练习题,让学生学会从图中找出信息.

　2.三角形的中位线的性质

观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系.

　学生活动:

（1）剪一个三角形,记为△ABC.

（2）分别取AB,AC的中点D,E,并连接DE.

　（3）沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E旋转180°

到△CFE的位置,得四边形DBCF（如图）.

　思考:

四边形DBCF是什么特殊的四边形?

为什么?

　教师根据情况进行提示:

要判定一个四边形是平行四边形,需具备什么条件?

　结合题目中的条件,你选用哪一种判定方法?

由操作（3）知△ADE≌△CFE,从而可知CF∥DB,CF=AD=DB,∴四边形BCFD是平行四边形.

　教师进一步引导,得出:

DE∥BC,DE=BC.

　师生归纳总结:

三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

　[设计意图]　通过对问题的逐层分析,把解决问题方案的范围逐渐缩小,最终确定一个合理的方案.能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯.

　探索:

如图,三角形的中位线DE与BC有什么样的关系?

（1）你能直观感知它们之间的关系吗?

用三角板验证;

（2）你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系吗?

　学生在教师的指导下完成猜想,并证明.

　已知:

如图,点D,E分别为△ABC边AB,AC的中点.

　求证:

DE∥BC且DE=BC.　

　〔解析〕　所证明的结论既有位置关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.

　分小组讨论后,全班交流证明过程.

　第一小组代表:

如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由题意易得△ADE≌△CFE,从而可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,由作图知DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.（也可以过点C作CF∥AB,交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同）

　第二小组代表:

如图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,CD和AF,因为AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.

　第三小组代表:

如图,过E点作AB的平行线交BC于N,交过A点与BC平行的直线于M,由题意及作图易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因为AM∥BC,AB∥MN,所以四边形AMNB是平行四边形,所以AB=MN,AM=BN.又因为BD=AB,EN=MN,所以BD=EN,所以四边形BDEN是平行四边形,则DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即DE=BC.

　第四小组代表:

如图,过A,B,C三点分别作DE的垂线,分别交直线DE于点P,M,N.因为AP,BM,CN都垂直于DE,所以AP∥BM∥CN.可证明△APE≌△CNE,则AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM,则AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,DE=MN,所以四边形BMNC是平行四边形,所以DE∥BC,DE=MN=BC.

我们证明了以上结论的正确性,上述结论称为三角形中位线定理.

　请同学们用不同的表达方式（文字语言,符号语言）表述这一定理.

　师生归纳:

三角形中位线的性质:

　∵D,E分别是AB,AC的中点,

　∴DE∥BC,DE=BC.

　[设计意图]　先由直观的方法感知DE与BC在位置与数量上的关系,再用说理的方式来证明这一关系,此举既满足了学生探求新知的欲望,获得成功的体验,又刺激学生进行更深入的探求.

　[知识拓展]　

（1）三角形的中位线所构成的三角形的周长是原三角形周长的一半.

（2）三角形三条中位线可以把三角形分成三个平行四边形,分成的四个三角形全等.（3）三角形三条中位线所构成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一.

　3.例题讲解

　（补充）如图,△ABC的中位线DE=5cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8cm,求△ABC的面积.

　学生独立寻找三角形的底边和高后,再进行交流.连接AF,由折叠可知AF⊥DE,再由中位线的性质,得到BC=2DE,DE∥BC,则AF是△ABC的BC边上的高,进而求得△ABC的面积.

　解:

连接AF,如图所示.

　∵DE是△ABC的中位线,

　∴BC=2DE=10cm,

　DE∥BC.

　由折叠可知AF⊥DE,

　∴AF⊥BC,

　∴AF是△ABC的边BC上的高.

　∵AF=8cm,

　∴S△ABC=BC·

AF=×

10×

8=40（cm2）.

　[归纳拓展]　本题还可以这样解:

△ABC的面积是四边形ADFE面积的2倍,而四边形ADFE的对角线互相垂直,因此它的面积等于对角线乘积的一半,所以△ABC的面积等于AF·

DE.

　（补充）如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.

　〔解析〕　因为已知点E,F,G,H分别是线段的中点,所以可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形,所以考虑添加辅助线,连接AC或BD,构造含有三角形中位线的基本图形后,此题便可得证.

　证明:

连接AC,如图所示.

　在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,

　∴HG∥AC,HG=AC（三角形中位线性质）.

　同理可得EF∥AC,EF=AC.

　∴HG∥EF,且HG=EF.

　∴四边形EFGH是平行四边形.

　[归纳总结]　顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.

　师生共同归纳本节课所学知识:

　三角形的中位线的定义:

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

　两层含义:

如图,①∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线;

②∵DE为△ABC的中位线,∴D,E分别为AB,AC的中点.

　三角形中位线的性质:

　三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

　特点:

在一个题设下,有两个结论.一个表示位置关系,另一个表示数量关系.

　结论:

有两个,一个表明中位线与第三边的位置关系,另一个表明中位线与第三边的数量关系.

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC.

　作用:

在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系.

　1.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离是　　　　m,理由是　. 

　解析:

因为M,N分别是AC和BC的中点,所以MN=AB,所以AB=2MN=40m.理由是:

40　三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半

　2.Rt△ABC中,∠C=90°

AB=10,AC=8,BC=6,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则△DEF的周长是　　　　,面积是　　　　. 

△DEF的三条边分别是Rt△ABC的三条中位线,所以△DEF的三条边长分别是Rt△ABC的三边长的一半,所以△DEF的周长是Rt△ABC的周长的一半,△ABC的周长是24,则△DEF的周长是12.三角形的三条中位线在三角形中可以构成三个平行四边形和四个全等的三角形,所以△DEF的面积是Rt△ABC的面积的四分之一,△ABC的面积=AC·

BC=×

8×

6=24,因此△DEF的面积为6.

12　6

　3.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点.

（1）若EF=5cm,则AB=　　　　cm;

若BC=9cm,则DE=　　　　cm. 

（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系?

证明你的猜想.

（1）∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,∴DE=BC,EF=AB,且EF∥AB,∴AB=2EF=10cm,DE=BC=4.5cm.　

（2）AF与DE互相平分.证明如下:

连接DF,如图所示,∵D为AB的中点,∴AD=BD=AB,由

（1）知EF=AB,EF∥AB,∴AD=EF,∴四边形ADFE是平行四边形.∴AF与DE互相平分.

　4.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.

连接AC,如图所示,∵G,H分别是CD,AD的中点,∴GH=AC,且GH∥AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF=AC,且EF∥AC,∴EF=GH,EF∥GH,∴四边形EFGH是平行四边形.

　第3课时

　1.三角形的中位线的定义

　例1　例2

一、教材作业

【必做题】

　教材第49页练习第1,3题;

教材第50页习题18.1第5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3cm,则AD的长为　　（　　）

A.3cm　　　　　B.6cm

C.9cm　　D.12cm

2.（2015·

山西中考）如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是　　（　　）

A.8　　B.10

C.12　　D.14

3.△ABC中,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是　　　　cm. 

4.已知△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F为BC上一点,EF=BC,∠EFC=35°

则∠EDF=　　　　. 

5.如图所示,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于D,若DE=2,则EB=　　　　. 

6.三角形一条中位线所截成的新三角形与原三角形周长之和等于60cm,则原三角形周长为　　　　cm. 

【能力提升】

7.如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.求证∠PMN=∠PNM.

8.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,CE⊥AD于E,M为BC的中点,AB=14cm,AC=10cm,求ME的长.

【拓展探究】

9.如图,已知BE,CF分别为△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线,AM⊥BE于M,AN⊥CF于N,判断:

①MN与BC的位置关系;

②MN与AB,AC,BC的数量关系,并说明理由.

【答案与解析】

1.B（解析:

在▱ABCD中,AD=BC,OB=OD,E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,所以OE=BC,所以BC=2OE=6cm,所以AD=6cm.故选B.）

2.C（解析:

∵点D,E分别是边AB,BC的中点,∴DE是三角形ABC的中位线,AB=2BD,BC=2BE,∴DE∥AC且DE=AC,∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE）,即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍,∵△DBE的周长是6,∴△ABC的周长是6×

2=12.故选C.）

3.24（解析:

根据三角形中位线定理,△DEF的三边分别为△ABC的三条中位线,其长分别等于△ABC三边长的一半,所以△DEF的周长为△ABC的周长的一半,所以△ABC的周长是24cm.）

4.72.5°

（解析:

根据三角形的中位线定理可知DE∥BC,DE=BC,所以∠EFC=∠DEF=35°

因为EF=BC,所以DE=EF,所以∠EDF=∠DFE=（180°

-∠DEF）=72.5°

.）

5.2（解析:

因为EF是△ABC的中位线,所以EF∥BC,所以∠CBD=∠EDB,又因为BD平分∠ABC,所以∠CBD=∠EBD,所以∠EDB=∠EBD,所以BE=DE=2.）

6.40（解析:

根据三角形中位线定理,可知中位线长等于第三条边长的一半,所以三角形一条中位线所截成的新三角形的周长等于原三角形周长的一半,又因为三角形一条中位线所截成的新三角形与原三角形周长之和等于60cm,所以原三角形周长为40cm.）

7.证明:

∵P是对角线BD的中点,M是DC的中点,∴PM=BC.∵P是对角线BD的中点,N是AB的中点,∴PN=AD=BC.∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.

8.解:

延长CE交AB于点F,如图所示,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠FAE=∠CAE,∵CE⊥AD于E,∴∠AEF=∠AEC,又AE=AE,∴△AEF≌△AEC（ASA）.∴EF=CE,AF=AC,∵M为BC的中点,∴EM=BF=（AB-AF）=（AB-AC）=（14-10）=2（cm）.

9.解:

MN∥BC,且MN=（AB-BC+AC）.理由如下:

分别延长AN,AM,分别交BC于R,Q,如图所示.∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE,∵AM⊥BE,∴∠AMB=∠BMQ,又BM=BM,∴△ABM≌△QBM（ASA）.∴AM=QM,AB=BQ,同理可证AN=RN,AC=CR,∴MN∥BC,且MN=RQ,∵RQ=BQ-BR=BQ-（BC-CR）=BQ-BC+CR=AB-BC+AC,∴MN=（AB-BC+AC）.

　本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“创设情境—合作探究—猜想验证—结论总结—实践应用”为主线,使学生亲身体验中位线的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向合作探究式课堂转变.

　在教学过程中,高估了学生证明中位线定理的能力,主要困难在于一些学生不能对图形进行正确添加辅助线,特别是用多种方法证明中位线定理时,处理有些仓促,有部分学生跟不上节奏.

　在例题选配上,还需要进一步突破应用中位线定理时如何添加辅助线这一难点.适当增加学生探究的时间,通过独立思考,合作探究,引导学生分析证明思路,正确完成证明过程.

练习（教材第49页）

1.解:

能画三个.若连接DE,EF,FD,则DE,EF,FD分别是△ABC的中位线,所以DE∥AC,EF∥AB,FD∥CB,所以可得到▱ADEF,▱BEFD,▱DECF.

2.解:

AB􀱀

CD.理由如下:

∵l1∥l2,即AD∥BC,又AD=BC,∴AD􀱀

BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB􀱀

CD.

3.提示:

分别取AC,CB边的中点E,F,连接EF,测EF的长,根据三角形中位线定理得A,B的距离是E,F距离的2倍.

习题18.1（教材第49页）

因为AB=6,AB的长是▱ABCD周长的,所以▱ABCD的周长是6÷

=32.因为AB=CD,AD=BC,所以2（AB+BC）=32,所以BC=10.

2.提示:

根据平行四边形的对角相等,得∠2=∠1=72°

15'

.

3.解:

因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB=11,OA=OC=AC,OB=OD=BD.又因为AC+BD=36,所以2OC+2OD=36,即OC+OD=18,所以△OCD的周长为OC+OD+CD=18+11=29.

4.证明:

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,即AF∥EC.又因为AF=CE,所以四边形AECF是平行四边形.

5.证明:

因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.又因为E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点,所以OE=OA,OF=OB,OG=OC,OH=OD,所以OE=OG,OF=OH,所以四边形EFGH是平行四边形.

6.证明:

因为四边形AEFD是平行四边形,所以AD􀱀

EF.又因为四边形EBCF也是平行四边形,所以EF􀱀

BC,所以AD􀱀

BC,所以四边形ABCD是平行四边形.

7.解:

S△ABC=S△DBC.因为△ABC与△DBC同底等高,所以它们的面积相等.与△ABC面积相等的三角形有无数个.只要是以BC为底,第三个顶点在直线l1上或底边长与线段BC相等且在l2（l1）上,第三个顶点在l1（l2）上,得到的三角形的面积就等于△ABC的面积.

如图所示,分别过C,B作x轴的垂线段CD,BE,则∠CDO=∠BEA=90°

.∵四边形OABC是平行四边形,∴OC􀱀

AB,∴∠COD=∠BAE,即在△CDO和△BEA中,

∴△CDO≌△BEA,∴BE=CD=c,AE=OD=b,∴OE=OA+AE=a+b,∴B（a+b,c）.

9.证明:

（1）如图所示,过点C作CE∥DA,交AB于点E,则∠A=∠CEB.∵四边形ABCD是梯形,∴DC∥AB,∴四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又∵∠A=∠B,∴∠CEB=∠B,∴EC=BC,∴AD=BC.　

（2）如图所示,过点C作CE∥DA,交AB于点E,则∠A=∠CEB.∵四边形ABCD是梯形,∴DC∥AB,∴四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又∵AD=BC,∴EC=BC,∴∠CEB=∠B,而∠A=∠CEB,∴∠A=∠B.

10.解:

因为四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=70°

所以AD∥BC,∠ABC=∠ADC=70°

所以ED∥BF.又因为BE∥DF,所以四边形EBFD是平行四边形,所以∠EBF=∠EDF.又因为BE平分∠ABC,∠ABC=70°

所以∠EBF=∠ABC=×

70°

=35°

所以∠EDF=35°

所以∠1=∠ADC-∠EDF=70°

-35°

11.解:

∠ABC=∠B'

AB'

=AC'

.理由如下:

∵A'

B'

∥BA,B'

C'

∥CB,C'

A'

∥AC,∴四边形C'

BCA,四边形BCB'

A,四边形A'

CAB都是平行四边形,∴∠ABC=∠B'

AB'

=BC=AC'

12.解:

在Rt△ADO中,∠ADO=90°

AD=12,DO=5,所以AO2=AD2+OD2=122+52=169,所以AO=13.又因为AC=26,所以OC=AC-AO=26-13=13,所以AO=OC.因为DO=BO,所以四边形ABCD是平行四边形,所以BC=DA=12.因为S△ADB=AD·

DB=×

12×

10=60,所以S▱ABCD=2S△ADB=2×

60=120.

13.解:

有六个平行四边形.理由略.

14.解:

设木条与AD,BC分别相交于点E,F,则OE=OF.证明如下:

∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.∵∠AOE=∠COF,OA=OC,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.（当木条与AB,CD相交时,结果与证明方法相同）（答案不唯一）

15.解:

S▱AEPH=S▱CFPG,S▱ABGH=S▱CFEB,S▱AEFD=S▱CDHG.理由如下:

易知四边形HPFD,四边形EBGP,四边形AEPH和四边形PGCF均为平行四边形.在▱ABCD中,S△ABD=S△CDB,在▱HPFD中,S△HDP=S△FPD.在▱EBGP中,S△EPB=S△GBP,∴有S△ABD-S△HDP-S△EPB=S△CDB-S△FPD-S△GBP,即S▱AEPH=S▱PGCF,∴