高中数学必修四 同步课时培优+复习+检测含答案 第二章平面向量改好精品资料Word文档下载推荐.docx

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②零向量的长度为0；

③共线向量是在同一条直线上的向量；

④零向量是没有方向的向量；

⑤共线向量不一定相等；

⑥平行向量方向相同．

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”（　　）

A．总成立B．当a≠0时成立

C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立

5．下列各命题中，正确的命题为（　　）

A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

B．模为0的向量与任一向量平行

C．向量就是有向线段

D．|a|＝|b|⇒a＝b

6．下列说法正确的是（　　）

A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．零向量长度等于0

D．共线向量是在一条直线上的向量

题　号

1

2

3

4

5

6

答　案

二、填空题

7．给出以下5个条件：

①a＝b；

②|a|＝|b|；

③a与b的方向相反；

④|a|＝0或|b|＝0；

⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）

8．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．

9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．

①把所有单位向量移到同一起点；

②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；

③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．

①__________；

②____________；

③____________.

10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________________（将图中符合条件的向量全写出来）．

三、解答题

11.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

（1）试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

（2）在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

12.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

（1）写出与共线的向量；

（2）写出与的模大小相等的向量；

（3）写出与相等的向量．

能力提升

13.如图，已知＝＝.

求证：

（1）△ABC≌△A′B′C′；

（2）＝，＝.

14.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.

（1）与a的模相等的向量有多少个？

（2）与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

（3）与a共线的向量有哪些？

（4）请一一列出与a，b，c相等的向量．

1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．

2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>

b没有意义，而|a|>

|b|有意义．

3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：

零向量与任一向量都平行．

答案

知识梳理

1．大小　方向　2.

3．

（1）0　0　

（2）1　（3）长度相等　方向相同　（4）相同或相反　非零　①a∥b　②任一向量

作业设计

1．D　2.D

3．A　[②与⑤正确，其余都是错误的．]

4．C　[当b＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]

5．B　[由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]

6．C　[向量∥包含所在的直线平行于所在的直线和所在的直线与所在的直线重合两种情况；

相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；

共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错．]

7．①③④

解析　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；

方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；

零向量与任一向量平行，④成立．

8．菱形

解析　∵＝，∴AB綊DC

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．

9．单位圆　相距为2的两个点　一条直线

10.，，

解析　∵E、F分别为△ABC对应边的中点，

∴EF∥BC，

∴符合条件的向量为，，.

11．解　

（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等（作图略）．

（2）由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆（作图略）．

12．解　

（1）因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，

所以与共线的向量有：

，，，，，，.

（2）与模相等的向量有：

，，，，.

（3）与相等的向量有：

与.

13．证明　

（1）∵＝，

∴||＝||，且∥.

又∵A不在上，∴AA′∥BB′.

∴四边形AA′B′B是平行四边形．

∴||＝||.

同理||＝||，||＝||.

∴△ABC≌△A′B′C′.

（2）∵四边形AA′B′B是平行四边形，

∴∥，且||＝||.

∴＝.同理可证＝.

14．解　

（1）与a的模相等的向量有23个．

（2）与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.

（3）与a共线的向量有，，，，，，，，.

（4）与a相等的向量有，，；

与b相等的向量有，，；

与c相等的向量有，，.

2.2　平面向量的线性运算

2.2.1　向量加法运算及其几何意义

　1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．

1．向量的加法法则

（1）三角形法则

如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和（或和向量），记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.

（2）平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律

（1）交换律：

a＋b＝______________.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝______________________.

1．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则a＋b表示（　　）

A．向东南航行kmB．向东南航行2km

C．向东北航行kmD．向东北航行2km

2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是（　　）

A.＝，＝

B.＋＝

C.＋＝＋

D.＋＋＝

3．在四边形ABCD中，＝＋，则（　　）

A．四边形ABCD一定是矩形

B．四边形ABCD一定是菱形

C．四边形ABCD一定是正方形

D．四边形ABCD一定是平行四边形

4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则（　　）

A．a∥b，且a与b方向相同

B．a，b是共线向量且方向相反

C．a＝b

D．a，b无论什么关系均可

5.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于（　　）

A.B.

C.D.

6.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于（　　）

A．1B．2

C．3D．2

7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.

8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．

9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．

10.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式

（1）＋＝________；

（2）＋＋＝________；

（3）＋＋＝________；

（4）＋＋＋＝________.

11．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°

角，求水流速度和船实际速度．

12.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.

四边形AECF是平行四边形．

13．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.

14．在水流速度为4km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

2．2.1　向量加法运算及其几何意义

1．

（1）　a＋b　　0　a　a　

（2）OA　OB　平行四边形　

2．

（1）b＋a　

（2）a＋（b＋c）

1．A　2.C　3.D　4.A

5．C　[＋＋＝＋（＋）＝＋0＝.]

6．B　[|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.]

7．0

解析　注意＋＝0，＋＝0.

8．2

解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.

9．8

解析　∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.

∴|a＋b|的最大值为8.

10．

（1）　

（2）0　（3）　（4）

11．解　

如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°

，||＝5（km/h）．

∵四边形OACB为矩形，

∴||＝＝5（km/h），||＝＝10（km/h），

∴水流速度大小为5km/h，船实际速度为10km/h.

12．证明　＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，

所以＝，即AE与FC平行且相等，

所以四边形AECF是平行四边形．

13．0

解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，

则＋＝，＋＝0，

∴＋＋＝0.

14．解　

如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4，||＝12，∠CAB＝90°

，所以tan∠ACB＝＝，

即∠ACB＝30°

，∠CAD＝30°

.

所以||＝8，∠BAD＝120°

即船航行的速度大小为8km/h，方向与水流方向所成角为120°

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

　1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．

向量的减法

（1）定义：

a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．

（2）作法：

在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________.如图所示．

（3）几何意义：

如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：

－＝________.

1.在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于（　　）

A．a－b＋c

B．b－（a＋c）

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

2．化简－＋＋的结果等于（　　）

A.B.C.D.

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（　　）

A.＝＋B.＝－

C.＝－＋D.＝－－

4．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有（　　）

A.＝0B.＝0或＝0

C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形

5．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是（　　）

A．[3,8]B．（3,8）

C．[3,13]D．（3,13）

6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为（　　）

A．1B．2C.D.

7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.

8．化简（－）－（－）的结果是________．

9.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________（用a，b，c表示）．

10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.

11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：

b＋c－a＝.

12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，

（1）a＋b＋c；

（2）a－b＋c.

13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：

当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：

＝＋＋.

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋（－b）．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以向量＝a、＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．

2．2.2　向量减法运算及其几何意义

（1）相反向量　

（2）　（3）始点　终点　

1．A　2.B　3.B

4．C　[＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，

∴ABCD是矩形．]

5．C　[∵||＝|－|且

|||－|||≤|－|≤|A|＋||.

∴3≤|－|≤13.

∴3≤||≤13.]

6．D　[

如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋

＝＋＝.

在△ABD中，AB＝BD＝1，

∠ABD＝120°

，易求AD＝，

∴|－|＝.]

7.

8．0

解析　方法一　（－）－（－）

＝－－＋

＝＋＋＋

＝（＋）＋（＋）

＝＋＝0.

方法二　（－）－（－）

＝（－）＋（－）

9．a－b＋c

解析　＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.

10．4

解析　如图所示．

设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，

则|O|＝|a＋b|.由于（＋1）2＋（－1）2＝42.

故|O|2＋|O|2＝|B|2，

所以△OAB是∠AOB为90°

的直角三角形，

从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，

根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，

即|a＋b|＝4.

11．证明　方法一　∵b＋c＝＋＝＋＝，

＋a＝＋＝，

∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.

方法二　∵c－a＝－＝－＝，

＝＋＝－b，

∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.

12．解　

（1）由已知得a＋b＝＋＝，

又＝c，∴延长AC到E，

使||＝||.

则a＋b＋c＝，且||＝2.

∴|a＋b＋c|＝2.

（2）作＝，连接CF，

则＋＝，

而＝－＝a－＝a－b，

∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.

∴|a－b＋c|＝2.

13．解　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，

＝－＝a－b.

则有：

当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；

当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；

当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．

14．证明　作直径BD，连接DA、DC，则＝－，

DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.

∴CH∥DA，AH∥DC，

故四边形AHCD是平行四边形．

∴＝，

又＝－＝＋，

∴＝＋＝＋＝＋＋.

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

　1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

（1）|λa|＝__________.

（2）λa（a≠0）的方向；

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.

2．向量数乘的运算律

（1）λ（μa）＝________.

（2）（λ＋μ）a＝____________.

（3）λ（a＋b）＝____________.

特别地，有（－λ）a＝____________＝________；

λ（a－b）＝____________.

3．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有

λ（μ1a±

μ2b）＝__________________.

1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则（　　）

A．k＝0B．k＝1

C．k＝2D．k＝

2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）

A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D

3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则（　　）

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上

D．P在AC边上

4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于（　　）

A．0B.C.D．3

6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于（　　）

A．8B．4C．2D．1

7．若2－（c＋b－3y）＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.

8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.

9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.（填写正确的序号）

①－＋

②－－

③－

④＋

10.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.（用a，b表示）

11．两个非零向量a、b不共线．

（1）若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

12.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.（用a，b表示）

13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（λ∈[0，＋∞）），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．

2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．

3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．

2．2.3　向量数乘运算及其几何意义

1．向量　数乘　λa　

（1）|λ||a|　

（2）λ>

0　λ<

0　0　0

2．

（1）（λμ）a　

（2）λa＋μa　（3）λa＋λb　－（λa）　λ（－a）　λa－λb

3．b＝λa

4．加　减　数乘　λμ1a±

λμ2b

1．D　[当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.

∴n＝2m，此时，m，n共线．]

2．C　[∵＝＋＝2a＋4b＝2，

∴A、B、D三点共线．]

3．D　[＋＋＝－，

∴＝－2，∴P在AC边上．]

4．B　[∵＋＋＝0，

∴点M是△ABC的重心．

∴＋＝3，∴m＝3.]

5．C　[∵＝＋＝4，

∴＝3.

∴＝－＝＋－

＝＋－

＝＋（－）－

＝－

∴r＝，s＝－，r－s＝.]

6．C　[∵2＝16，

∴||＝4.又|－|＝||＝4，

∴|＋|＝4.

∵M为BC中点，∴＝（＋），

∴||＝|＋|＝2.]

7.a－b＋c

8．1

解析　∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使＝λ.

∴－＝λ（－）．

∴＝（1－λ）＋λ.

∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.

9．①

解析　－＋＝＋＝＋＝.

10.（b－a）

解析　＝＋＋

＝－b－a＋

＝－b－a＋（a＋b）

＝（b－