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其機率密度函數與累積分佈函數為：
p（x）=C（n,x）px（1-p）n-xx=0,1,…,n（4.1）
F（x）=xk=0C（n,k）pk（1-p）n-k（4.2）
其期望值與變異數為：
E[X]=npV[X]=np（1-p）
◎二項式分佈當n很大或p接近0.5時呈常態分佈，
◎np接近1PeakOut，p0.5右偏，p0.5左偏
Excel:
pp.99-100,BernoulliDistribution
pp.101-110,BinomialDistribution
範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問（a）此學生喜歡打籃球的期望值與變異數?
（b）隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數?
有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數?
至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?
SOL：
公式、查表、Excel（binomdist（x,n,p,true））
（a）令隨機變數X代表喜歡棒與否，則（注意:
N/Y）
E[X]=p=0.4V[X]=p（1-p）=0.24
（b）令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則（注意:
人數）
E[X]=np=5*0.4=2V[X]=np（1-p）=1.2
P（X=2）=C（5,2）（0.4）2（0.6）3=0.346
/binomdist（2,5,0.4,false）/
P（X3）=1-P（X2）=0.317
/1-binomdist（2,5,0.4,true）/
範例、工管系期末考統計學出20題選擇題（4選1），每題5分。
某學生採完全以猜的方式作答，試問（a）此學生答對數的期望值與變異數?
（b）此學生期末考統計學分數的期望值與變異數?
（c）此學生考及格的機率?
（d）此學生最多考40分的機率?
公式、查表、Excel
（a）令隨機變數X代表此學生答對題數，則（注意:
題數）
E[X]=np=20*1/4=5V[X]=np（1-p）=3.75
（b）分數期望值（注意:
分數）
E[5X]=5E[X]=25V[5X]=25*3.75=93.75
（c）此學生須答對12題以上才能及格，因此，
P（X12）=1-P（X<
12）=0.0009
/1-binomdist（11,20,0.25,true）/
（d）P（X8）=0.9591
/binomdist（8,20,0.25,true）/
（2）卜氏分佈（Poisson）---在一個單位時段或區域內，某事件發生的次數。
通常以隨機變數X~Poi（）表示。
其機率密度函數與累積分配函數為：
p（x）=e-x/x!
x=0,1,…（4.3）
F（x）=xk=0e-k/k!
（4.4）
E[X]=V[X]=
離散型隨機變數X具有卜氏分配時，有下列特性
（a）每一個時段或區域內事件的發生皆是相互獨立。
（b）在一固定時段內，事件發生的機率p均相同。
（c）卜氏分配可由n很大時的二項分配逼近
limxC（n,x）px（1-p）n-x=e-x/x!
範例、6月至9月為台灣颱風季節，中央氣象局統計資料指出，台灣每年有5個颱風過境，（a）今年台灣沒有颱風過境之機率?
（b）將有5個颱風過境之機率?
（c）超過7個以上颱風過境之機率?
令隨機變數X代表每年颱風過境台灣次數，則
X~Poi（）X~Poi（5）
P（x=0）=e-x/x!
=0.0067
/=poisson（0,5,false）/
P（x=5）=e-x/x!
=0.1755
/=poisson（5,5,false）/
P（x7）=1-P（X6）=0.2378
/1-poisson（6,5,true）/
範例、青輔會資料顯示，台灣大約有2%的成年人具有碩士以上的學歷。
茲由全台成年人中，隨機抽取100人，其中洽3人具有碩士以上的學歷之機率?
公式、查表、Excel（比較二項與卜氏分配）
令隨機變數X代表擁有碩士以上學歷人數，則依二項分配的定義，X~B（100,0.02），即
P（x=3）=C（100,3）（0.02）3（0.98）97=0.1823
/=binomdist（3,100,0.02,false）/
若依卜氏分配，X~Poi（），=np=2，X~Poi
（2）
P（x=3）=e-x/x!
=0.1804
/=poisson（3,0.02,false）/
（3）離散型均勻分配（DiscreteUniform）---樣本空間有N個相異的元素，{1,2,3,…,N}。
且此N個元素被抽中的機會皆均等。
通常以隨機變數X~DU（N）表示。
p（x）=1/Nx=1,2,…,N（4.5）
F（x）=x/Nx=1,2,…,N（4.6）
E[X]=（N+1）/2V[X]=（N2-1）/12
範例、擲骰子1次，則擲出點數（X）的期望值與變異數?
2
3
4
5
6
1/6
p（x）
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/2
V[X]
E[X2]-（E[X]）2=91/6–49/4=35/12
（4）超幾何分配（Hypergeometric）---若母體內含有N個元素，此N個元素分成兩類，其中具某種特性者屬一類共有M個，另外N-M個不具某種特性，屬另一類。
通常以隨機變數X~HG（N,M,n）表示。
其機率密度函數為：
p（x）=C（M,x）C（N-M,n-x）/C（N,n）x=0,1,…,n
or
p（x）=C（np,x）C（N-np,n-x）/C（N,n）
p=M/N=constant（4.7）
E[X]=n（M/N）V[X]=n（M/N）（1-M/N）[（N-n）/（N-1）]
在二項分配中，每一次的試驗都是互相獨立的，而超幾何分配則互相影響。
即二項分配是『歸還』特性；
超幾何分配是『不歸還』特性。
※如無限的母體，即N時，超幾何分配可視為二項分配。
因為母體相當大，隨機抽取有限個樣本，並不足以影響母體。
limxC（M,x）C（N-M,n-x）/C（N,n）=C（n,x）px（1-p）n-x
wherep=M/N=constant
二項分配使用時機：
卜氏分配使用時機：
（1）N/n10
（2）p=const.
（2）n16
（3）p0.1
不屬上述條件者，則使用超幾何機率分配。
範例、工管系欲選派4位學生參加統計學校外競賽。
茲有20位實力相當學生報名，其中男生有5位、女生有15位。
最後決定以抽籤方式選取，試問選派4位參加統計學校外競賽者中，抽出2位男生之機率?
（a）採取出放回（b）採取出不放回。
公式、查表、Excel（比較二項與超幾何分配）
令隨機變數X代表抽出4位參賽者中男生之個數，則
（a）取出放回，依二項分配的定義，X~B（100,0.02），即
P（x=2）=C（4,2）（0.25）2（0.75）2=0.2109
/=binomdist（2,4,0.25,false）/
（b）取出不放回，X~HG（N,M,n）=H（20,5,4）
P（x=2）=0.2167
/=hypgeomdist（2,4,5,20）/
/=hypgeomdist（x,n,M,N）//=binomdist（x,n,p,false）/
/=poisson（x,np,false）/
4.2連續型機率分配---常見有：
（1）連續型均勻分配（ContinuousUniform）
在隨機變數X所屬的區域內，機率值是均勻分配的（固定值）。
通常以X~U（a,b）表示。
f（x）=1/（b-a）,x（a,b）（4.8）
=0,Otherwise
F（x）=（x-a）/（b-a），x（a,b）（4.9）
E[X]=（a+b）/2V[X]=（b-a）2/12
範例、隨機變數X代表致遠站---台南站間隔發車時間，滿足X~U（3,7）。
求f（x）、F（x）、E[X]與V[X]？
（a）f（x）=1/4；
F（x）=（x-3）/4
（b）E[X]=5；
V[X]=4/3
（2）指數分配（Exponential）
主要用於間隔或等待時間。
通常以隨機變數X~Exp（）表示。
其中為事件發生的平均時間。
f（x）=e-x//,x>
0（4.10）
F（x）=1-e-x/（4.11）
其期望值與變異數為：
E[X]=V[X]=2
範例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。
歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的台南客運。
不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走。
康樂股長看看站牌上寫著：
往麻豆班車平均每20分鐘開一班。
（a）同學們最多再等10分鐘之機率?
（b）超過30分鐘之機率?
令隨機變數X代表台南客運到達時間間距，
X~Exp（）=Exp（20），則
（a）F（x）=P（x10）=0.39
/=expondist（10,1/20,true）/
（b）P（x>
30）=0.2231
/=1-expondist（30,1/20,true）/
（3）常態分配（Normal）
應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現象或社會科學實例。
通常以隨機變數X~N（,2）表示。
-,0（4.12）
（4.13）
E[X]=V[X]=2
常態分配具有以下各項特性：
（a）是一以平均值為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。
愈大，分配偏離中心愈遠，曲線圖愈平緩。
（b）母體的平均值、眾數、中位數均相同值。
（c）機率分配函數圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸（即機率函數值遞減）。
※通常將其X~N（,2）標準化。
標準化過程是令
Z=（X-）/則Z~N（0,1），又稱Z分配。
標準常態機率密度函數
-x（4.14）
標準常態分配之期望值與變異數為：
E[X]=0,V[X]=1
範例、工管系期末考統計學成績，經整理得知具有N（50,16），試問成績於50~60的人數，大概佔所有參加考試人數的比例為多少?
公式、查表、Excel
令隨機變數X代表考試成績，其具有N（50,16），則
P（50X60）=P[（50-50）/4（x-50）/4（60-50）/4]=0.494
/=normdist（60,50,4,true）-normdist（50,50,4,true）/
範例、工管系某品管實驗，經整理資料得知具有N（0.3,0.012），老師規定此實驗規格應為0.30.02之間才合格。
試問此實驗不合格的比率有多少?
令隨機變數X代表實驗資料，其具有N（0.3,0.012），則
P（0.28x0.32）=
P[（0.28-0.3）/0.01（x-0.3）/0.01（0.32-0.3）/0.01]=0.9544
/=normdist（0.32,0.3,0.01,true）-normdist（0.28,0.3,0.01,true）/
（4）伽瑪分配GammaDistribution
如隨機變數X，具有以下的機率密度函數，則該分配稱之為伽瑪分配：
（4.15）
其中、是伽瑪分配的參數，其值均大於0。
Wherethegammafunctionisdefinedas:
伽瑪函數將被運用到數個統計量分配---Chi-Square,t,FDistribution。
4.3常用的統計分配
如何將樣本資料{x1,x2,…,xn}推估母體參數（,2），此種由抽樣資料推論母體的長像，統計上稱為統計推論。
為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體（,2）。
從母體中抽取數個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統計量，而樣本統計量所服從的機率分配則稱之為統計分配，亦稱抽樣分配（SamplingDistribution）。
常用的統計分配有常態分配，t分配，卡方分配，F分配等。
統計推論的目的係利用樣本裏的資訊對母體作結論，所採之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C（N,n）個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣（RandomSampling）。
樣本統計量：
◎集中趨勢統計量---平均數。
◎離散趨勢統計量---變異數與標準差等。
=（x1+x2+…+xn）/n=（ni=1xi）/n
S2=[ni=1（xi-
）2]/（n-1），（[ni=1（xi-
）2]：
SumSquare）
常用統計分配：
（1）常態分配
上述已定義過常態分配，主要是用來說明隨機變數的分佈狀況。
而在統計應用上，常態分配是用來推論與檢定母體的特徵值。
如，以樣本平均值
去推論，『其中
的統計分配即常態分配』。
大數法則
從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數，即
（n）（E[
]=）
中央極限定理
19世紀法國學數家PierreSimondeLaplace（1749-1827）所提出。
他是從觀察到『量測誤差有常態分配的趨向』而得到此定理。
『樣本平均數大都趨近於常態分配』。
中央極限定理的精神：
從『任何以期望值，變異數2的母體中』，隨機抽出n個樣本{x1,x2,…,xn}且x=x1+x2+…+xn，則樣本平均值
將會趨近於標準常態分配。
（4.16）
其中/n1/2稱之為標準誤（StandardError）；
2/n變異誤（ErrorVariance）。
範例、致遠管理學院女學生平均身高為160cm，標準差為9cm；
茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大於160cm而小於162cm的機率有多少?
令隨機變數
代表隨機抽取36位的平均身高，即
=160,/n1/2=9/（36）1/2=1.5，則
P（160
162）=
P[（160-160）/1.5（
-160）/1.5（162-160）/1.5]=0.4082
/=normdist（162,160,1.5,true）-normdist（160,160,1.5,true）/
範例、致遠管理學院學生選修『科技與人生』人數服從二項分配B（n,p=0.07），為了避免選修該課程的人數過多，影響教學品質，倘選修的人數超過80人則開2班上課。
試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少?
令隨機變數X代表選修該課程的學生人數，則
P（X80）=1-binomdist（79,1000,0.07,true）=0.1207
另應用中央極限定理，因E[X]=np=70、V[X]=np（1-p）=65.1，則
P（X80）=P[（X-70）/（65.1）1/2（80-70）/（65.1）1/2]=0.1075
（2）卡方分配（Chi-Square）
一個可用『常態隨機變數』來定義的重要的抽樣分配就是卡方分配
（2）。
倘z1,z2,…,zk為k個獨立且相同分配的常態隨機變數，期望值0且變異數1，簡記為NID（0,1）（NormallyandIndependentlyDistribution），隨機變數x=z12+z22+…+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數。
通常以隨機變數X~2k表示。
卡方機率密度函數
，0x（4.17）
Thegammafunctionisdefinedas:
E[X]=kV[X]=2k
卡方分配是不對稱的統計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。
假設{x1,x2,…,xn}是一個來自N（,2）分配的隨機樣本。
則其平方和除以2後就依循卡方分配。
SS/2=[ni=1（xi-
）2]/2=2n-1另
）2]/（n-1）=SS/（n-1）=[2/（n-1）]2n-1
S2的分配為[2/（n-1）]2n-1。
故樣本變異數的抽樣分配為一個常數乘以卡方分配。
[如下圖，卡方分配（k=1,5,15）]
假設隨機變數X~2n-1，定義2,n-1為自由度（n-1）之卡方分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（X2n-1）=，則
P（X21-/2,n-1）=1-/2，
及P（21-/2,n-1X2/2,n-1）=1-
=0.1，/2=0.05，2/2=20.05，21-/2=20.95
倘P（X21-/2,n-1）=1-/2，P（1-/2,n-12X/2,n-12）=1-
請查表20.975,4，20.95,13，20.01,4，20.10,13。
/=chiinv（0.975,4）/，/=chiinv（0.95,13）/
/=chiinv（0.01,4）/，/=chiinv（0.10,13）/
20.1,6=10.644620.05,10=18.3070
（3）t分配（Student）
倘z與2k分別為獨立標準常態NID（0,1）與卡方分配，則隨機變數
tk=z/（2k/k）1/2（4.18）
依循k個自由度的t分配，通常以t~tk表示。
t機率密度函數
，-x（4.19）
E[X]=0，V[X]=k/（k-2）
t分配與標準常態分配類似，其對應的機率分配皆對稱於原點，尤其當樣本數n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近於標準常態分配。
假設{x1,x2,…,xn}是一個來自N（,2）分配的隨機樣本，則
~tn-1（4.20）
t分配最早由W.S.Gosset所發現，因故用Student的筆名發表，又稱Student的t分配。
[如下圖，t分配（k=1,10,100）]
假設隨機變數X~tn-1，定義tn-1為自由度（n-1）之t分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（Xtn-1）=，則
P（Xt/2,n-1）=/2，
及P（-t/2,n-1Xt/2,n-1）=1-
=0.1，/2=0.05，t/2=t0.05=-t0.05，
倘P（Xt/2,n-1）=/2，P（-t/2,n-1Xt/2,n-1）=1-
請查表t0.1,4，t0.05,13，t0.01,4，t0.025,13。
/=tinv（0.1*2,4）/，/=tinv（0.05*2,13）/
/=tinv（0.01*2,4）/，/=tinv（0.025*2,13）/
/t0.1,5=1.476/，/t0.05,10=1.812/
（4）F分配
倘2u與2v分別為二個獨立卡方分配，則隨機變數
Fu,v=（2u/u）/（2v/v）（4.21）
依循分子u個自由度、分母v個自由度的F分配，通常以F~Fu,v表示。
F機率密度函數
，0x（4.22）
2v2（u+v-2）/[u（v-2）2（v-4）]
E[X]=u/（v-2）,v>
2；
V[X]=2v2（u+v-2）/[u（v-2）2（v-4）]
假設分別來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1,n2，其各別樣本變異為S21與S22則
[如下圖，F分配（u=4,v=10,30;
u=10,v=10,30）]
假設隨機變數X~
，定義
為自由度（n1-1,n2-1）之F分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（X
）=，則
P（X
）=，另
請查表F0.1,4,10，F0.9,10,4，F0.025,4,10，F0.975,10,4。
/=finv（0.1,4,10）/，/=finv（
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