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1、其機率密度函數與累積分佈函數為： p（x） = C（n, x） px （1-p）n-x x =0, 1,n （4.1） F（x） =xk =0C（n, k） pk （1-p）n-k （4.2）其期望值與變異數為： EX = np VX =np（1-p） 二項式分佈當n很大或p接近0.5時呈常態分佈，np接近1 Peak Out，p0.5右偏， p0.5左偏 Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution pp. 101-110, Binomial Distribution範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問（a） 此學生

2、喜歡打籃球的期望值與變異數? （b） 隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?SOL：公式、查表、Excel（binomdist（x,n,p,true）（a） 令隨機變數X代表喜歡棒與否，則（注意:N/Y）EX = p = 0.4 VX = p（1-p） = 0.24（b） 令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則（注意:人數）EX = np = 5* 0.4 = 2 VX = np（1-p） = 1.2 P（X=2） = C（5,2）（0.4）2 （0.6）3 = 0.346 /binomdist（2,5,

3、0.4,false）/ P（X 3） = 1- P（X 2） = 0.317 /1-binomdist（2,5,0.4,true）/範例、工管系期末考統計學出20題選擇題（4選1），每題5分。某學生採完全以猜的方式作答，試問（a） 此學生答對數的期望值與變異數? （b） 此學生期末考統計學分數的期望值與變異數? （c） 此學生考及格的機率? （d） 此學生最多考40分的機率? 公式、查表、Excel（a） 令隨機變數X代表此學生答對題數，則（注意:題數）EX = np = 20* 1/4 = 5 VX = np（1-p） = 3.75 （b） 分數期望值（注意:分數）E5X = 5EX = 2

4、5 V5X = 25*3.75 = 93.75 （c） 此學生須答對12題以上才能及格，因此， P（X 12） = 1- P（X 0 （4.10） F（x） = 1- e-x/ （4.11） 其期望值與變異數為： EX= VX = 2 範例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的台南客運。不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走。康樂股長看看站牌上寫著：往麻豆班車平均每20分鐘開一班。 （a） 同學們最多再等10分鐘之機率? （b） 超過30分鐘之機率?令隨機變數X代表台南客運到達時間間距，XExp（） = Exp（20），則（a） F（x） = P（x

5、10） = 0.39 /=expondist（10,1/20,true）/ （b） P（x 30） = 0.2231 /=1-expondist（30,1/20,true）/（3） 常態分配（Normal ）應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現象或社會科學實例。通常以隨機變數XN（,2）表示。 -, 0 （4.12） （4.13）EX = VX = 2 常態分配具有以下各項特性：（a） 是一以平均值為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。愈大，分配偏離中心愈遠，曲線圖愈平緩。（b） 母體的平均值、眾數、中位數均相同值。（c） 機率分配函數圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸（即機率

6、函數值遞減）。 通常將其XN（, 2）標準化。標準化過程是令Z=（X-）/ 則ZN（0, 1），又稱Z分配。標準常態機率密度函數, -x （4.14）標準常態分配之期望值與變異數為： EX = 0, VX = 1 範例、工管系期末考統計學成績，經整理得知具有N（50,16），試問成績於5060的人數，大概佔所有參加考試人數的比例為多少? 公式、查表、Excel令隨機變數X代表考試成績，其具有N（50,16），則P（50 X 60） = P（50-50）/4 （x-50）/4（60-50）/4=0.494 /=normdist（60,50,4,true）-normdist（50,50,4,tru

7、e）/範例、工管系某品管實驗，經整理資料得知具有N（0.3,0.012），老師規定此實驗規格應為0.30.02之間才合格。試問此實驗不合格的比率有多少?令隨機變數X代表實驗資料，其具有N（0.3,0.012），則P（0.28x0.32）=P（0.28-0.3）/0.01（x-0.3）/0.01（0.32-0.3）/0.01=0.9544/=normdist（0.32,0.3,0.01,true）-normdist（0.28,0.3,0.01,true）/（4） 伽瑪分配Gamma Distribution如隨機變數X，具有以下的機率密度函數，則該分配稱之為伽瑪分配： （4.15） 其中、是伽瑪

8、分配的參數，其值均大於0。Where the gamma function is defined as:伽瑪函數將被運用到數個統計量分配-Chi-Square, t, F Distribution。4.3常用的統計分配如何將樣本資料x1, x2,xn推估母體參數（, 2），此種由抽樣資料推論母體的長像，統計上稱為統計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體（,2）。從母體中抽取數個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統計量，而樣本統計量所服從的機率分配則稱之為統計分配，亦稱抽樣分配（Sampling Distribution）。常用的統計分配有常態分配，t分配，卡方分配，F分配等

9、。 統計推論的目的係利用樣本裏的資訊對母體作結論，所採之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C（N, n）個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣（Random Sampling）。樣本統計量： 集中趨勢統計量-平均數。 離散趨勢統計量-變異數與標準差等。=（x1 + x2 + + xn）/n = （ni =1 xi）/nS2=ni =1 （xi-）2/（n-1）， （ni =1 （xi-）2：Sum Square）常用統計分配：（1）常態分配上述已定義過常態分配，主要是用來說明隨機變數的分佈狀況。而在統計應用上，常態分配是用來推論與檢定母體的特徵值。如，以樣本

10、平均值去推論，其中的統計分配即常態分配。大數法則 從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數，即 （n） （E= ）中央極限定理19世紀法國學數家Pierre Simon de Laplace（1749-1827）所提出。他是從觀察到量測誤差有常態分配的趨向而得到此定理。樣本平均數大都趨近於常態分配。中央極限定理的精神：從任何以期望值，變異數2的母體中，隨機抽出n個樣本x1, x2,xn且x =x1+x2+xn，則樣本平均值將會趨近於標準常態分配。 （4.16）其中/n1/2稱之為標準誤（Standard Error）；2/n變異誤（Error Vari

11、ance）。範例、致遠管理學院女學生平均身高為160cm，標準差為9cm；茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大於160cm而小於162cm的機率有多少?令隨機變數代表隨機抽取36位的平均身高，即=160, / n1/2 = 9/（36）1/2=1.5，則P（160 162） = P（160-160）/1.5 （-160）/1.5（162-160）/1.5=0.4082/=normdist（162,160,1.5,true）-normdist（160,160,1.5,true）/範例、致遠管理學院學生選修科技與人生人數服從二項分配B（n, p= 0.07），為了避免選修該課程的人數過多，影響教

12、學品質，倘選修的人數超過80人則開2班上課。試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少?令隨機變數X代表選修該課程的學生人數，則 P（X80）=1-binomdist（79,1000,0.07,true）= 0.1207另應用中央極限定理，因EX=np=70、VX=np（1-p）=65.1，則 P（X80）=P（X-70）/（65.1）1/2 （80-70）/（65.1）1/2=0.1075（2）卡方分配（Chi-Square）一個可用常態隨機變數來定義的重要的抽樣分配就是卡方分配（2）。倘z1, z2,zk為k個獨立且相同分配的常態隨機變數，期望值0且變異數1，簡記為N

13、ID（0,1）（Normally and Independently Distribution），隨機變數 x = z12+z22+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數。通常以隨機變數X 2k表示。卡方機率密度函數，0 x （4.17）The gamma function is defined as:EX = k VX = 2k卡方分配是不對稱的統計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。假設x1, x2,xn是一個來自N（, 2）分配的隨機樣本。則其平方和除以2後就依循卡方分配。SS/2= ni =1 （xi-）2/2= 2n-1 另）2/（n-1） = SS/（n-1

14、）= 2/（n-1）2n-1 S2的分配為2/（n-1）2n-1。故樣本變異數的抽樣分配為一個常數乘以卡方分配。如下圖，卡方分配（k =1, 5, 15） 假設隨機變數X 2n-1，定義2,n-1為自由度（n-1）之卡方分配其右邊（累積）機率等於的臨界值，即P（X 2n-1）= ，則P（X 21- /2,n-1）= 1- /2， 及 P（21- /2,n-1 X 2/2,n-1）= 1- = 0.1，/2 = 0.05，2/2= 20.05，21- /2= 20.95倘P（X 21- /2,n-1）= 1- /2， P（1- /2,n-12 X /2,n-12）= 1- 請查表20.975,4

15、，20.95,13，20.01,4，20.10,13。 /=chiinv（0.975,4）/，/=chiinv（0.95,13）/ /=chiinv（0.01,4）/，/=chiinv（0.10,13）/20.1,6= 10.6446 20.05,10= 18.3070（3） t分配（Student）倘z與2k分別為獨立標準常態NID（0,1）與卡方分配，則隨機變數tk= z/（2k/k）1/2 （4.18）依循k個自由度的t分配，通常以t tk表示。t機率密度函數， - x （4.19）EX = 0， VX =k/（k-2） t分配與標準常態分配類似，其對應的機率分配皆對稱於原點，尤其當樣本

16、數n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近於標準常態分配。假設x1, x2,xn是一個來自N（, 2）分配的隨機樣本，則 tn-1 （4.20） t分配最早由W. S. Gosset所發現，因故用Student的筆名發表，又稱Student的t分配。如下圖，t分配（k = 1, 10, 100）假設隨機變數X tn-1，定義tn-1為自由度（n-1）之t分配其右邊（累積）機率等於 的臨界值，即P（X tn-1）= ，則P（X t/2, n-1）= /2， 及 P（-t/2, n-1 X t/2, n-1）= 1- = 0.1，/2 = 0.05， t/2 = t0.05= -t0.05， 倘P（X

17、t/2, n-1）= /2， P（-t/2, n-1 X t/2, n-1）= 1- 請查表t0.1, 4，t0.05, 13，t0.01, 4，t0.025, 13。 /=tinv（0.1*2,4）/，/=tinv（0.05*2,13）/ /=tinv（0.01*2,4）/，/=tinv（0.025*2,13）/ / t0.1, 5 = 1.476/，/ t0.05, 10 = 1.812/（4） F分配倘2u與2v分別為二個獨立卡方分配，則隨機變數Fu, v = （2u/u）/（ 2v/v） （4.21）依循分子u個自由度、分母v個自由度的F分配，通常以F Fu, v表示。F機率密度函數，

18、 0 x （4.22）2v2（u+v-2）/u（v-2）2（v-4）EX=u/（v-2）, v2； VX= 2v2（u+v-2）/u（v-2）2（v-4）假設分別來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1 , n2，其各別樣本變異為S21與S22則如下圖，F分配（u=4,v=10, 30;u=10,v=10, 30）假設隨機變數X，定義為自由度（n1-1, n2-1）之F分配其右邊（累積）機率等於 的臨界值，即P（X）= ，則P（X ）= ，另 請查表F0.1, 4, 10，F0.9, 10, 4，F0.025, 4, 10，F0.975, 10, 4 。 /=finv（0.1,4,10）/，/=finv（