全等三角形模型总结及经典练习题文档格式.docx

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旋转有重叠

两个等边三角形两个等腰两个正方形

直角三角形

五、角平分线模型

对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中

角平分线形成的两个角相等，若把角平分线看成一条公共边，在角的两边再截取相等的线段，就可根据SAS得到全等三角形（如图

①，△AiBDl^ACBD）,或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边，就可根据HL得到全等三角形（如图②，△ABD2幻

△GBD2）

证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理，相等的角

就是对应角

如图①,,三个等角指的是a（图②中，a=90°

）,利用外角定理

可证得/仁/2或/3二/4

第二部分精选例题

例1.如图，已知AB//CDAD//BCF在DC的延长线上，AM=CF,FM

交DA的延长线上于E交BC于N,求证:

AE=CN.

思路分析：

欲证AE=CN看它们在哪两个三角形中

设法证这两个三角形全等即可•结合图形可发现

△AMB^FCN可证.

题设告知AM=CF,ADBC,AB//CD.由两平行条件，

可找两对角相等.

•••/仁/2（对顶角相等）

•••/2二/E（等量代换）

二AE=CN全等三角形的对应边相等）

例2.△ABC中，/ACB90°

AC=BC过C的一条直线CE!

AE于E,BDLCE的延长线于D,求证：

AEfBDDE

从本例的结论知是求线段和的问题，

由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维

角度,可仔细观察图形，正确的图形是证题的“向导”，由此可发现△

CBD子像（猜测）全等.那么AE=CI=C^DE又BD=CE那么，此时已水落石出.

AG=BC（已知）

J/仁/3（已证）

/AE（=ZCDB（已证）

•••△ACE^^CBD（AAS

•••BD=CEAE=CD（全等三角形的对应边相等）

vAE=CE=CE0E

•AE=BDDE（等量代换）

例3.如图，人。

是4ABC的中线，DEDF分别平分/ADB和/ADC

连接EF,求证：

EFvBE+CF.定对象：

△ABC

定角度：

三角形全等

分析：

由结论EFvBE+C很容易与定理

“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE,CF,EF

条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这

一线索，可将△BDE沿角平分线翻转180°

即B点落在AD的点B'

上（如图）（也就是在DA上截取DB=BD）,连结EB,B7F,此时△BDE与△BzDE完全重合，所以△BDE^ABzDE（两个三角形能够完全重合就是全等三角形，所以BE=BE（全等三角形的对应边相等）.

在厶EFB中,EF<

BZE+BF（三角形的两边之和大于第三边）.

•EFvBE+CF等量代换）.

例4如图，已知CDLAB于D.BELAC于E,△ABE^AACDZC=20°

AB=1QAD=4,G为AB延长线上一点.求ZEBG勺度数和CE的长.

定对象：

如图

（1）图中可分解出四组基本图形：

有公共角的Rt△ACD

和RtAABEAABE^AACDAABE勺外角ZEBG^ZABE勺邻补角ZEBG

例5已知：

如图，AABC^AADEBC的延长线交DA于F,交DE于G,

/

ZACB=1Q5,ZCAD=1Q°

ZD=25.求ZEACZDFBZDGB

的度数.

例6.在AABC中,ZC=9Q°

AC=BCAD是ZBAC的平分线，DEI

AB,垂足为E,若AB=20cm,则ADBE的周长等于多少？

对象：

ADBE的周长角度：

（1）BDDEBE的长

解：

因为DEIAB所以AEDACD因为AD是/BAC的平分线，所

以EADCAD又因为AD为公共边所以VAEDVACD则AE=ACDE=DC

所以△DBE的周长二BE+DE+BD二AB-AE+BC=20

例7如图13—3—8所示，已知在厶ABC中,AD是/BAC的平分线,

DEIAB于E，DF1AC于F.求证：

EF丄AD.

△ABC角度：

（1）AD是/BAC的平分线，

（2）DEIAB于E,DF丄AC于F

证明：

因为DEIAB于E,DF丄AC于F,所以AEDAFD900又因为AD是/BAC的平分线，所以EADFAD由于AD是公共边所以VAEDVAFD

贝卩AE=AF因为AD是/BAC的平分线所以EF丄AD

第三部分优选分层练习题

1.已知:

如图,AB=AC,DB=DC,

点,求证:

BF=CF.

2.已知：

如图，AE=AC,DE=DC,F是AD延长线上一点，且B,F,C在一条

3.已知：

如图，AB=AC,DBDC,F是AD上的一点，求证：

点F到AB,AC的距离相等.

4.已知：

如图，ABAC,DBDC,F是DA延长线上的一点，求证：

点F到

AB,AC的距离相等.

5.已知：

如图，在厶ABC中,AD为/A的平分线,E为

BC的中点，

过E作EF//AD交AB于G,交CA的延长线于F,求证:

BG=CF.

6.如图，已知，在厶ABC中,/A=2ZB,CD是/C的平，—分线.求证昨GAD—

A7.已知BD=CEAD=AEZ仁/2,

（1）说明/AB3/ACE的理由?

（2）/D=ZE吗？

为什么?

（1）、△ABC与△ADE的关系如何?

（2）、求/BAD的度数

10.如图所示：

BDLAB,EDLBDAB=CD,BC=DE^证：

ACLCE

11.过ABC的顶点，A,在A内作任一射线，过B.C分别向此射线作

垂线BP,CQ,P.Q为垂足，设M为的BC中点，求证;

MP=MQ

13.ABDACE,C和B是对应角，那末DC=（）

A.AEB.ADC.EBD.AE

14.已知；

ABC,ADE都是等边三角形，求证：

BD=CE

已知：

过ABC的顶点A作AFAB且AC=AB再作AHAC且AH=ACBF交AC于E,CF交AB于D,BH,CF相交于点0求证；

BH=CF

16.已知：

/\A

ABC中，AB=AC在AC上取D点，又在AC的

D

B

F

延长线上取E点，是使CE二BD连DE交BC与G

求证：

DG=GE

17.已知：

在ABC中，C90,BD平分ABC,BD=5,BC=4则点D

到AB的距离是（）

A.5B.4C.3D.2