全等三角形模型总结及经典练习题文档格式.docx

1、i=旋转有重叠两个等边三角形 两个等腰 两个正方形直角三角形五、角平分线模型对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中角平分线形成的两个角相等，若把角平分线看成一条公共边， 在角的两边再截取相等的线段，就可根据SAS得到全等三角形（如图， AiBDlA CBD）,或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等 找到一组相等的边，就可根据HL得到全等三角形（如图， ABD2幻 GBD2）证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理 ，相等的角就是对应角如图,三个等角指的是a （图中，a =90 ）,利用外角定理可证得/仁/2或/3二/ 4第二部分精选例题例1.如图，已知 AB/ CD AD/ BC F在

2、DC的延长线上，AM=CF, FM交DA的延长线上于 E交BC于 N,求证:AE=CN.思路分析：欲证AE=CN看它们在哪两个三角形中设法证这两个三角形全等即可结合图形可发现 AMB FCN可证.题设告知AM=CF,AD BC,AB/ CD.由两平行条件，可找两对角相等./仁/2（对顶角相等）/ 2二/ E（等量代换）二AE=CN全等三角形的对应边相等）例 2. ABC中，/ ACB90, AC=BC 过 C的一条直线 CE!AE于 E, BDL CE的延长线于 D,求证：AEfBDDE从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口 .此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形，正确的图

3、形是证题的“向导”，由此可发现CBD子像（猜测）全等.那么AE=CI=CDE又BD=CE那么，此时 已水落石出.AG=BC （已知）J /仁/3 （已证）/ AE（=Z CDB（已证） ACE CBD（ AAS BD=CE AE=CD（全等三角形的对应边相等）v AE=CE=CE0E AE=BDDE（等量代换）例3.如图，人。是4ABC的中线，DE DF分别平分/ ADB和/ADC连接EF,求证：EFvBE+CF.定对象： ABC定角度：三角形全等分析：由结论EFvBE+C很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形， BE, CF, EF条件分散，不在一个三角形中，必须设法（

4、平移，旋转，翻转等）把 三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键 .由角的平分线这一线索，可将 BDE沿角平分线翻转180 ,即B点落在AD的点B上 （如图）（也就是在DA上截取DB =BD）,连结EB ,B 7 F,此时 BDE与 Bz DE完全重合，所以 BDEA Bz DE（两个三角形能够完全重合就 是全等三角形，所以BE=B E（全等三角形的对应边相等）.在厶EFB中,EFBZ E+B F（三角形的两边之和大于第三边）. EFvBE+CF等量代换）.例4 如图，已知CDLAB于D.BELAC于E, ABEA ACD Z C=20,AB=1Q AD= 4, G为AB延长线上一点.求Z

5、 EBG勺度数和CE的长.定对象：如图（1）图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt ACD和Rt AABE AABEA ACD AABE勺外角Z EBGZ ABE勺邻补 角 Z EBG例5已知：如图，AABCA ADE BC的延长线交DA于F,交DE于G,/Z ACB=1Q5 , Z CAD= 1Q,Z D=25 .求Z EAC Z DFB Z DGB的度数.例 6.在 A ABC中 , Z C=9Q , AC= BC AD是Z BAC的平分线，DEIAB,垂足为E,若AB= 20 cm ,则A DBE的周长等于多少？对象：A DBE的周长 角度：（1） BD DE BE的长解：因为DEI

6、AB所以AED ACD因为AD是/ BAC的平分线，所以EAD CAD又因为AD为公共边所以VAED VACD则AE=AC DE=DC所以 DBE的周长二BE+DE+BD二AB-AE+BC=20例7如图13 38所示，已知在厶ABC中, AD是/BAC的平分线,DEIAB于 E，DF1 AC于 F.求证：EF丄AD. ABC角度：（1） AD是/BAC的平分线，（2） DEIAB 于E, DF丄AC于F证明：因为DEIAB于E, DF丄AC于 F,所以 AED AFD 900又因 为AD是/ BAC的平分线，所以 EAD FAD由于AD是公共边 所以 VAED VAFD贝卩AE=AF因为AD是

7、/ BAC的平分线 所以EF丄AD第三部分优选分层练习题1 .已知:如图,AB=AC,DB=DC,点,求证:BF=CF.2 .已知：如图，AE=AC,DE=DC,F是AD延长线上一点，且B,F,C在一条3. 已知：如图，AB=AC,DBDC,F是AD上的一点，求证：点F到AB,AC 的距离相等.4.已知：如图，ABAC,DBDC,F是DA延长线上的一点， 求证：点F到AB,AC的距离相等.5.已知：如图，在厶ABC中,AD为/A的平分线,E为BC的中点，过E作EF/ AD交AB于G,交CA的延长线于F,求证:BG=CF.6.如图，已知，在厶ABC中, / A=2Z B,CD是/ C的平 ， 分

8、线.求证昨GAD A7.已知 BD=CE AD=AEZ 仁/2, （1）说明/ AB3/ACE的理由?（2）/ D=Z E吗？为什么?（1）、 ABC与 ADE的关系如何?（2）、求/ BAD的度数10.如图所示：BDLAB, EDLBD AB=CD,BC=DE证：ACLCE11.过ABC的顶点，A,在A内作任一射线，过B.C分别向此射线作垂线BP,CQ,P.Q为垂足，设M为的BC中点，求证;MP=MQ13. ABD ACE, C和 B是对应角，那末 DC=（）A.AE B.AD C.EB D.AE14. 已知；ABC, ADE都是等边三角形，求证：BD=CE已知：过 ABC的顶点A作AF AB且AC=AB 再作AH AC且AH=AC BF交AC于E,CF交 AB于D,BH,CF相交于点0求证；BH=CF16.已知：/ AABC 中，AB=AC在 AC上取 D 点，又在 AC的DBF延长线上取E点，是使CE二BD连DE交BC与G求证：DG=GE17.已知：在 ABC 中， C 90 , BD 平分 ABC, BD=5,BC=4则点 D到AB的距离是（）A. 5 B. 4 C . 3 D. 2