导数练习及标准答案.docx
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导数练习及标准答案
导数练习及答案
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例1．利用导数的定义，求出函数y=x＋的导数，并据此求函数在x=1处的导数．
例2．求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程.
例3．设f（x）是定义在R上的函数，且对任何x1，x2R都有f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2）.若f（0）0，.
（1）求f（0）的值；
（2）证明：
对任何xR，都有.
例4．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例5．求下列函数的导数：
（1）；
（2）;
（3）;（4）.
例6．若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，）上为增函数，试求实数a的取值范围．
例7．已知函数．
（1）若f（x）在实数集Ｒ上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减？
若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
例8．求下列函数的极值：
（1）;
（2）.
例9．已知函数，且知当x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，试求函数f（x）的极小值，并求a,b,c的值．
例10．设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的三倍，问：
如何设计使总造价最小？
1.解析：
利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算．
，
从而．
总结：
求函数y=f（x）的导数可分如下三步：
（1）求函数的增量；
（2）求函数的增量与自变量的增量的比值;
（3）求极限，得函数．
2. 解：
函数f（x）图象上点P处的切线方程的求解步骤：
先求出函数在点处的导数（即过点P的切线的斜率），再用点斜式写出切线方程.
，
切线的斜率，
切线方程为y－2=－4（x－），即4x＋y－4=0.
注：
求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过
3.解析：
本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算.
（1）对任意都成立，
令，得f（0）=f2（0）．
．
（2），
对任何xR，都有．
4. 解析：
这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
（1）
（2）解法一：
解法二：
．
（3）
．
（4），
5. 解析：
应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导.
（1）
（2）设，
则．
（3）
（4）方法一：
方法二：
6.解析：
本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力．解答本题时应先求出函数f（x）的单调区间，在求单调区间时，应对字母a进行讨论，把不符合题意的情况舍去．
解：
函数f（x）的导数，令，解得x=1或x=a－1．当a－11即a2时，函数f（x）在区间（1，）上为增函数，不符合题意；当a－1>1时即a>2时，函数f（x）在区间上为增函数，在区间（1，a－1］上为减函数，在（a－1，）上为增函数．依题意应有：
当（1，4）时，；当（6，）时，．
所以，解得，即a的取值范围是［5，7］．
7.解析：
本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
（1）由已知，f（x）在上是单调递增函数，
在上恒成立，即对恒成立．
只需，又a=0时，，
f（x）=在Ｒ上是增函数，．
（2）由在（－1，1）上恒成立．得，
（－1，1）恒成立．只需．
当a=3时，，在（－1，1）上，，
即f（x）在（－1，1）上为减函数，．
故存在实数，使f（x）在（－1，1）上单调递减．
8. 解析：
先求导数，再求方程=0的根，根据=0的根的左、右的值的符号求极值．
（1）令，解得．
当x变化时，与y的变化情况如下表：
x
－3
（－3,1）
1
＋
0
－
0
＋
y
极大值57
极小值－7
当x=－3时，y有极大值57； 当x=1时，y有极小值－7．
（2）令， 解得．
当x变化时，与y的变化情况如下表：
x
0
（0，3）
3
（3，5）
5
（5,）
＋
0
＋
0
－
0
＋
y
无极值
极大值108
极小值0
x=0不是y的极值点； x=3时，y有极大值108； x=5时，y有极小值０．
9. 解析：
由于是关于x的一元二次方程，所以要重视韦达定理的重要作用．
．
时函数取得极大值，x=3时函数取得极小值，
－1，3是方程的根，即为方程的二根．
由一元二次方程根与系数的关系有
，解得，
．
x=－1时取得极大值7，解得c=2．
函数f（x）的极小值为，
．
10.解析：
桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不边的前提下，应当合理使用两种材料，才能保证总造价最小．
设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，
则．由，得，
所以， 所以．令，得
此时． 当时，y有最小值，即时，总造价最小．
答：
当时，总造价最小．
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