版理科数学一轮复习高考帮试题选修45 不等式选讲Word文档格式.docx
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5,求a的取值范围.
题组2 不等式的证明
8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][理]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<
2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<
|1+ab|.
9.[2015新课标全国Ⅱ,24,10分][理]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(Ⅰ)若ab>
cd,则+>
+;
(Ⅱ)+>
+是|a-b|<
|c-d|的充要条件.
10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][理]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(Ⅰ)ab+bc+ac≤;
(Ⅱ)++≥1.
A组基础题
1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.
(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;
(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.
2.[2018湖北省八校第一次联考,23]已知f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)求f(x)在[-1,1]上的最大值m及最小值n.
(2)a,b∈R,设am+bn=1,求a2+b2的最小值.
3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.
(1)求a的值;
(2)若<
k存在实数解,求实数k的取值范围.
4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|.
(1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围;
(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.
B组提升题
5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.
(1)当m=5时,求不等式f(x)>
2的解集;
(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.
6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3.
(1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
7.[2017长春市高三第四次质量监测,23]
(1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>
0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:
++≥.
8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2.
(1)证明:
f(x)+|f(x)-2|≥2;
(2)当x≠-1时,求y=+[f(x)]2的最小值.
答案
1.A 当x<
1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<
2,即-4<
2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);
当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<
2,即2x-6<
2,解得x<
4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);
当x>
5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<
2,即4<
2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.
2.-6或4 当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;
当a<
-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;
当a>
-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.
3.[-1,] |2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,].
4.
(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0 ①.
当x<
-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;
1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<
x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤}.
(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f
(1)之一,所以f(-1)≥2且f
(1)≥2,得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
5.(Ⅰ)由题意可得f(x)=
y=f(x)的图象如图D2所示.
图D2
(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.
故f(x)>
1的解集为{x|1<
x<
3};
f(x)<
-1的解集为{x|x<
或x>
5}.
所以|f(x)|>
1的解集为{x|x<
或1<
3或x>
6.(Ⅰ)当a=1时,f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
当x≤-1时,不等式化为x-4>
0,无解;
当-1<
1时,不等式化为3x-2>
0,解得<
1;
当x≥1时,不等式化为-x+2>
0,解得1≤x<
2.
所以f(x)>
1的解集为{x|<
2}.
(Ⅱ)由题设可得f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>
6,故a>
所以a的取值范围为(2,+∞).
7.(Ⅰ)由a>
0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2.
(Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.
3时,f(3)=a+,由f(3)<
5得3<
a<
.
当0<
a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<
5得<
a≤3.
综上,a的取值范围是(,).
8.(Ⅰ)由题意可得f(x)=
当x≤-时,由f(x)<
2得-2x<
2,解得x>
-1,所以-1<
x≤-;
当-<
时,f(x)<
2恒成立;
当x≥时,由f(x)<
2得2x<
1,所以≤x<
1.
所以f(x)<
2的解集M={x|-1<
1}.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<
1,-1<
b<
1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<
因此|a+b|<
9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,
由题设a+b=c+d,ab>
cd得(+)2>
(+)2.
因此+>
+.
(Ⅱ)①若|a-b|<
|c-d|,则(a-b)2<
(c-d)2,即(a+b)2-4ab<
(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>
cd.
由(Ⅰ)得+>
②若+>
+,则(+)2>
(+)2,即
a+b+2>
c+d+2.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<
(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<
|c-d|.
综上,+>
10.(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
所以++≥1.
1.
(1)当a=2时,由f(x)≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,
∴或或
解得-4≤x<
或≤x<
2或x=2.
综上,当a=2时,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.
(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2,
∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].
2.
(1)∵f(x)=
∴当x∈[-1,1]时,f(x)max=3,f(x)min=,即m=3,n=.
(2)∵am+bn=3a+b=1,
∴a2+b2=≥=,∴a2+b2的最小值为.
3.
(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,
0时,-≤x≤,所以解得a=2;
0时,≤x≤-,所以无解.所以a=2.
(2)因为=≥=,所以要使<
k存在实数解,只需k>
所以实数k的取值范围是(,+∞).
4.
(1)f(x)=|x-5|-|x-2|=
当2<
5时,-3<
7-2x<
3,所以-3≤f(x)≤3.
所以m的取值范围是[-3,+∞).
(2)原不等式等价于-f(x)≥x2-8x+15,
由
(1)可知,当x≤2时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;
5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<
5};
当x≥5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.
5.
(1)当m=5时,f(x)=
由f(x)>
2得不等式的解集为{x|-<
}.
(2)因为二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,
f(x)=在x=-1处取得最大值m-2,
所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).
6.
(1)当m=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,
①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x≥-3,所以-3≤x≤-2;
②当-2<
1时,f(x)=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<
③当x≥1时,f(x)=2x+1,由2x+1≤5,解得x≤2,所以1≤x≤2.
综上所述,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,设A={y|y=f(x)},B={y|y=g(x)},则A⊆B,因为f(x)=|x-m|+|x+2|≥|(x-m)-(x+2)|=|m+2|,g(x)=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m≥1或m≤-5,因此,实数m的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).
7.
(1)因为a>
0,所以f(x)=|x+1|+|x-a|=
又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},解得a=2.
(2)++
=
≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).
8.
(1)∵f(x)=(x+1)2≥0,
∴f(x)+|f(x)-2|=|f(x)|+|2-f(x)|≥|f(x)+[2-f(x)]|=|2|=2.
(2)当x≠-1时,f(x)=(x+1)2>
0,
∴y=+[f(x)]2=++[f(x)]2≥3·
=,当且仅当==[f(x)]2时取等号,即x=-1±
时取等号.
∴y=+[f(x)]2的最小值为.