人教版学年 九年级数学上册 期末复习 二次函数 知识点+易错题精选含答案文档格式.docx

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2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；

k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

四、二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c的比较

从解析式上看，y=a（x-h）2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

，其中

．

五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a（x-h）2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2h,c）、与x轴的交点（x1,0），（x2,0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数y=ax2+bx+c的性质

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；

2.顶点式：

y=a（x-h）2+k（a，h，k为常数，a≠0）；

3.两根式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．

⑴当a>

0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当a<

0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，∣a∣的大小决定开口的大小．

2.一次项系数b

3.常数项c

⑴当c>

0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当c<

0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与

轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c本身就是所含字母x的二次函数；

下面以a>

0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次函数易错题精选

一、选择题

已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（　　）

A.3B.5C.7D.不确定

将抛物线y=－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）

A.y=－2（x＋1）2B.y=－2（x＋1）2＋2

C.y=－2（x－1）2＋2D.y=－2（x－1）2＋1

若二次函数y=（m＋1）x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为（）

A.-1或3B.-1C.3D.-3或1

如图,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标为（1,1）,（3,1），则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（）

A.x＞1B.1＜x＜3C.x＜1或x＞3D.x＞3

下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项的正确是（）

x

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

y

-0.80

-0.54

-0.20

0.22

0.72

A.1.6<

x<

1.8B.1.8<

2.0C.2.0<

2.2D.2.2<

在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图像的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系．请通过此经验推断：

在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2－3x＋4与y=4x2－x＋3的图像交点个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为（）

A.88米B.68米C.48米D.28米

图

（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图

（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（）

A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣0.5x2D.y=0.5x2

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：

4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图,点A的坐标为（0,1）,点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°

设点B的横坐标为x,设点C纵坐标为y,能表示y与x的函数关系图象大致是（）

已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时,函数值为y1；

当x=x2时,函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|,则下列表达式正确的是（）

A.y1+y2＞0B.y1﹣y2＞0C.a（y1﹣y2）>

0D.a（y1+y2）＞0

如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（B）

二、填空题

如果函数y=（k﹣3）

+kx+1是二次函数，那么k的值一定是　　．

抛物线y=2x2+x-3与x轴交点个数为_____个.

如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　　．

如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少

要　　　　　　m，才能使喷出的水流不至落到池外．

已

知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　 

　．

如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．且过点（0.5，0），有下列结论：

①abc＞0；

②a﹣2b+4c=0；

③25a﹣10b+4c=0；

④3b+2c＞0；

⑤a﹣b≥m（am﹣b）；

其中所有正确的结论是 

．（填写正确结论的序号）

三、解答题

如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．

（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．

（2）试确定抛物线的解析式．

如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（

墙的最大长度a为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?

设抛物线y=mx2－2mx＋3（m≠0）与x轴交于点A（a，0）和B（b，0）.

（1）若a=－1，求m，b的值；

（2）若2m＋n=3，求证：

抛物线的顶点在直线y=mx＋n上；

（3）抛物线上有两点P（x1，p）和Q（x2，q），若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小.

已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1,0）和点（2,-9）．

（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；

（2）已知点P（2,-2）,连结OP,在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标（不写求解过程）.

如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是（-2,4）,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA。

（1）求△OAB的面积；

（2）若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.

求c的值；

将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界）,求m的取值范围（直接写出答案即可）。

某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．

（1）图中点P所表示的实际意义是；

销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；

（2）请直接写出y与x之间的函数表达式：

；

自变量x的取值范围为；

（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？

最大利润是多少？

已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．

（1）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；

（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；

（3）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

参考答案

B.

C　

C

C．

B

A.

C.

D.

答案为：

0．

2个. 

﹣1＜x＜3.

2.5．

4；

①③⑤．

解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，∴将x=0代入y=﹣x+6得，y=6；

将y=0代入y=﹣x+6，得x=6．

∴点B的坐标是（6，0），点C的坐标是（0，6）．

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，∴点A的坐标为（2，0）．

即抛物线与x轴的两

个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）．

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），

∴4a+2b+c=0,36a+6b+c=0,c=6,解得a=0.5，b=﹣4，c=6．

∴抛物线的解析式为：

y=0.5x2-4x+6．

（1）S=x（24-3x），即S=-3x2+24x.

（2）当S=45时，-3x2+24x=45.

解得x1=3，x2=5.

又∵当x=3时，BC＞10（舍去），∴x=5.

答：

AB的长为5米.

（1）当a=－1时，把（－1，0）代入y=mx2－2mx＋3，解得m=－1，

∴抛物线的表达式为y=－x2＋2x＋3.

令y=0，则由y=－x2＋2x＋3，得x=－1或3，∴b=3；

（2）抛物线的对称轴为x=1，把x=1代入y=mx2－2mx＋3，得y=3－m，

∴抛物线的顶点坐标为（1，3－m）.

把x=1代入y=mx＋n，得y=m＋n=m＋3－2m=3－m，

∴顶点坐标在直线y=mx＋n上；

（3）∵x1＋x2＞2，∴x2－1＞1－x1，

∵x1＜1＜x2，∴|x2－1|＞|x1－1|，∴P离对称轴较近，

当m＞0时，p＜q，当m＜0时，p＞q.

（1）

对称轴是x=2 

（2）

（1）图中点P所表示的实际意义是：

当售价定为35元/件时，销售量为300件；

第一个月的该商品的售价为20×

（1＋50%）=30（元），销售单价每提高1元时，

销售量相应减少数量为（400－300）÷

（35－30）=20（件）．

（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx＋b，将点（30，400），（35，300）代入，

得30k+b=400,35k+b=300解得k=-20,b=1000.

∴y与x之间的函数表达式为y=－20x＋1000.

当y=0时，x=50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.

（3）设第二个月的利润为W元，由已知得:

W=（x－20）y=（x－20）（－20x＋1000）=－20x2＋1400x－20000=－20（x－35）2＋4500，

∵－20＜0，∴当x=35时，W取最大值4500.

答：

第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．

（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴x=﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，

（Ⅱ）y=x2+2bx+3，的对称轴为x=﹣b，

①若﹣b＜0，即b＞0时，当x=0时，y有最小值为3，

②若0≤b≤4，即：

﹣4≤b≤0时，当x=﹣b时，y有最小值﹣b2+3；

③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x=﹣4时，y有最小值为8b+19，

（Ⅲ）当c=4b2时，二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x=﹣b的抛物线，

①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，

∴当x=2b时，y=（2b）2+2b×

2b+（2b）2=12b2为最小值，

∴12b2=21，∴b=

或b=﹣

（舍）∴二次函数的解析式为y=x2+

x+7，

②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，

当x=﹣b时，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，

∴3b2=21∴b=﹣

（舍）或b=

（舍），

③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，

∴当x=2b+3时，代入二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，

∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=

（舍），∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+16．

综上所述，b=

或b=﹣2，此时二次函数的解析式为y=x2+

x+7或y=x2﹣4x+16