自动机理论语言和计算导论课后习题答案中文版Word文档下载推荐.docx
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*010a
011r
111r
010a
111r
*100a
100a
*101a
000a
101a
*110a
001a
110a
Exercise2.2.2
Thestatementtobeprovedisδ-hat（q,xy）=δ-hat（δ-hat（q,x）,y）,andweproceedbyinductiononthelengthofy.
证明：
通过对|y|进行归纳，来证明
（q,xy）=
（
（q,x）,y），具体过程如下：
Basis:
Ify=ε,thenthestatementisδ-hat（q,x）=δ-hat（δ-hat（q,x）,ε）.Thisstatementfollowsfromthebasisinthedefinitionofδ-hat.Notethatinapplyingthisdefinition,wemusttreatδ-hat（q,x）asifitwerejustastate,sayp.Then,thestatementtobeprovedisp=δ-hat（p,ε）,whichiseasytorecognizeasthebasisinthedefinitionofδ-hat.
基础:
=0，则y=ε。
那么需证
（q,x）=
（q,x）,ε），记p=
（q,x）,命题变为p=
（p,ε）,由
的定义知这显然成立。
Induction:
Assumethestatementforstringsshorterthany,andbreaky=za,whereaisthelastsymbolofy.Thestepsconvertingδ-hat（δ-hat（q,x）,y）toδ-hat（q,xy）aresummarizedinthefollowingtable:
归纳:
假设命题对于比y 短的串成立,且y=za,其中a是y的结尾符号。
（q,x）,y）到
（q,xy）的变换总结在下表中:
Expression表达式
Reason原因
（q,x）,y）
Start开始
（q,x）,za）
y=zabyassumption由假设y=za
δ（
（q,x）,z）,a）
Definitionofδ-hat,treatingδ-hat（q,x）asastate
的定义,把
（q,x）看作是一个状态
（q,xz）,a）
Inductivehypothesis归纳假设
（q,xza）
Definitionofδ-hat
的定义
（q,xy）
y=za
Exercise2.2.4（a）
TheintuitivemeaningsofstatesA,B,andCarethatthestringseensofarendsin0,1,oratleast2zeros.
状态A,B，C分别表示以１,０和00结尾的串的状态。
0
1
B
A
C
*C
Exercise2.2.6（a）
Thetrickistorealizethatreadinganotherbiteithermultipliesthenumberseensofarby2（ifitisa0）,ormultipliesby2andthenadds1（ifitisa1）.Wedon'
tneedtoremembertheentirenumberseen---justitsremainderwhendividedby5.Thatis,ifwehaveanynumberoftheform5a+b,wherebistheremainder,between0and4,then2（5a+b）=10a+2b.Since10aissurelydivisibleby5,theremainderof10a+2bisthesameastheremainderof2bwhendividedby5.Sinceb,is0,1,2,3,or4,wecantabulatetheanswerseasily.Thesameideaholdsifwewanttoconsiderwhathappensto5a+bifwemultiplyby2andadd1.
对于一个二进制整数，如果读入一个比特０，其值等于原数乘以２；
否则等于原数乘以２再加以1。
而任意一个数均可写成形如5a+b，其中a任意，0<
=b<
=4，那么输入0，原数变为2（5a+b）=10a+2b，由于10a是5的倍数,，因此10a+2b除以５的余数与2b相同。
输入1，则得2（5a+b）+1类似。
因此对于所有的数只要记住它被５除的余数就可以。
由于b是0,1,2,3或者4,我们可以容易得到该DPA的转移表，具体如下：
Thetablebelowshowsthisautomaton.Stateqimeansthattheinputseensofarhasremainderiwhendividedby5.
其中状态qi代表输入串被５除的余数i的状态。
*q0
q0
q1
q1
q2
q3
q4
q0
q3
q2
q4
Thereisasmallmatter,however,thatthisautomatonacceptsstringswithleading0'
s.Sincetheproblemcallsforacceptingonlythosestringsthatbeginwith1,weneedanadditionalstates,thestartstate,andanadditional``deadstate'
'
d.If,instates,weseea1first,weactlikeq0;
.,wegotostateq1.However,ifthefirstinputis0,weshouldneveraccept,sowegotostated,whichweneverleave.Thecompleteautomatonis:
但是上述自动机仍接受以０开头的字符串。
因为题目要求只接受以１开头的串，可增加一个初始状态s和“死亡状态”d。
在状态初始状态s,若看到１，则转到状态q1；
若看到０,则直接转到状态d，识别终止。
所求自动机如下:
s
d
d
Exercise2.2.9
Part（a）isaneasyinductiononthelengthofw,startingatlength1.
|w|=1.Thenδ-hat（q0,w）=δ-hat（qf,w）,becausewisasinglesymbol,andδ-hatagreeswithδonsinglesymbols.
Letw=za,sotheinductivehypothesisappliestoz.Thenδ-hat（q0,w）=δ-hat（q0,za）=δ（δ-hat（q0,z）,a）=δ（δ-hat（qf,z）,a）[bytheinductivehypothesis]=δ-hat（qf,za）=δ-hat（qf,w）.
a）通过对w长度的归纳证明。
若|w|=1，则w是一个符号，此时需证
（q0,w）=
（qf,w）,而对于单个符号扩展转移函数
与转移函数δ的作用是一样的，得证。
令w=za,假设对于z命题
（q0,z）=
（qf,z）成立。
那么
（q0,za）=δ（
（q0,z）,a）=δ（
（qf,z）,a）[由归纳假设]=
（qf,za）=
（qf,w）.
Forpart（b）,weknowthatδ-hat（q0,x）=qf.Sincexε,weknowbypart（a）thatδ-hat（qf,x）=qf.Itisthenasimpleinductiononktoshowthatδ-hat（q0,xk）=qf.
Fork=1thestatementisgiven.
Assumethestatementfork-1;
.,δ-hat（q0,xSUP>
k-1）=qf.UsingExercise2.2.2,δ-hat（q0,xk）=δ-hat（δ-hat（q0,xk-1）,x）=δ-hat（qf,x）[bytheinductivehypothesis]=qf[by（a）].
b）x是属于L（A）的非空串，也即串x被接收，因此
（q0,x）=qf，则由a）知
（qf,x）=
（q0,x）=qf。
现在通过对k的归纳来证明
（q0,xk）=qf。
k=1时，需证
（q0,x）=qf，由已知可得。
归纳：
假设对于k-1命题成立，也就是说，
（q0,xk-1）=qf。
由练习2.2.2,
（q0,xk）=
（q0,xk-1）,x）=
（qf,x）[由归纳假设]=qf[由（a）]。
Exercise2.2.10
Theautomatontellswhetherthenumberof1'
sseeniseven（stateA）orodd（stateB）,acceptinginthelattercase.Itisaneasyinductionon|w|toshowthatdh（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1'
s.
|w|=0.Thenw,theemptystringsurelyhasanevennumberof1'
s,namelyzero1'
s,and
（A,w）=A.
Assumethestatementforstringsshorterthanw.Thenw=za,whereaiseither0or1.
Case1:
a=0.Ifwhasanevennumberof1'
s,sodoesz.Bytheinductivehypothesis,
（A,z）=A.ThetransitionsoftheDFAtellus
（A,w）=A.Ifwhasanoddnumberof1'
s,thensodoesz.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=B,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=B.Thus,inthiscase,δ-hat（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1'
Case2:
a=1.Ifwhasanevennumberof1'
s,thenzhasanoddnumberof1'
s.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=B.ThetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=A.Ifwhasanoddnumberof1'
s,thenzhasanevennumberof1'
s.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=A,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=B.Thus,inthiscaseaswell,δ-hat（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1'
这个自动机表示，状态A表示偶数个1，状态B表示奇数个1，不管串有偶数个还是奇数个1，都会被接受。
当且仅当串w中有偶数个1时，
（A,w）=A.。
用归纳法证明如下
|w|=0。
空串当然有偶数个1，即0个1，且
（A,w）=A.
假设对于比w短的串命题成立。
令w=za,其中a为0或1。
情形1：
a=0.如果w有偶数个1,则z有偶数个1。
由归纳假设，
（A,z）=A。
由转移表的DFA知
（A,w）=A.如果w有奇数个1,则z有奇数个1.由归纳假设，
（A,z）=B,由转移表的DFA知
（A,w）=B.因此这种情况下
（A,w）=A当且仅当w有偶数个1。
情形2：
a=1.如果w有偶数个1,则z有奇数个1。
（A,z）=B.由转移表的DFA知
（A,w）=A.如果w有奇数个1,则z有偶数个1。
由归纳假设,
（A,z）=A,由转移表的DFA知
（A,w）=A当且仅当w有偶数个1.
综合上述情形，命题得证。
Exercise2.3.1
HerearethesetsofNFAstatesrepresentedbyeachoftheDFAstatesAthroughH:
A={p};
B={p,q};
C={p,r};
D={p,q,r};
E={p,q,s};
F={p,q,r,s};
G={p,r,s};
H={p,s}.
下表就是利用子集构造法将NFA转化成的DFA。
其中构造的子集有：
A={p};
D
C
E
F
*E
G
*F
*G
H
*H
Exercise2.3.4（a）
Theideaistouseastateqi,fori=0,1,...,9torepresenttheideathatwehaveseenaninputiandguessedthatthisistherepeateddigitattheend.Wealsohavestateqs,theinitialstate,andqf,thefinalstate.Westayinstateqsallthetime;
itrepresentsnoguesshavingbeenmade.Thetransitiontable:
记状态qi为已经看到i并猜测i就是结尾将要重复的数字，i=0,1,...,9。
初始状态为qs，终止状态为qf。
我们可以一直停留在状态qs，表示尚未猜测。
转移表如下：
1
...
9
qs
{qs,q0}
{qs,q1}
{qs,q9}
{qf}
{q0}
{q0}
{q1}
{q1}
...
q9
{q9}
{qf}
*qf
{}
{}
Exercise2.4.1（a）
We'
lluseq0asthestartstate.q1,q2,andq3willrecognizeabc;
q4,q5,andq6willrecognizeabd,andq7throughq10willrecognizeaacd.Thetransitiontableis:
记q0为初始状态。
q1,q2和q3识别abc;
q4,q5和q6识别abd,q7到q10识别aacd.转移表如下：
a
b
c
{q0,q1,q4,q7}
{q2}
{q3}
*q3
{q5}
q5
{q6}
*q6
q7
{q8}
q8
{q10}
*q10
Exercise2.4.2（a）
Thesubsetconstructiongivesusthefollowingstates,eachrepresentingthesubsetoftheNFAstatesindicated:
A={q0};
B={q0,q1,q4,q7};
C={q0,q1,q4,q7,q8};
D={q0,q2,q5};
E={q0,q9};
F={q0,q3};
G={q0,q6};
H={q0,q10}.NotethatF,GandHcanbecombinedintooneacceptingstate,orwecanusethesethreestatetosignaltherecognitionofabc,abd,andaacd,respectively.
由子集构造法可得以下DFA的状态，其中每一个状态都是NFA状态的子集：
H={q0,q10}.注意到F,G和H可以整合到一个接受状态中，或者我们可以用这三个状态来分别标记已识别abc,abd和aacd。
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