与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法1.doc

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与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法

　　一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。

　　一、换元

　　例1方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是（　　）

　　A、-2　　　　B、0　　　　C、2　　　　D、4

（93年“希望杯”竞赛题）

　　解：

原方程为（x-1）2-5|x-1|+6=0

　　即|x-1|2-5|x-1|+6=0

　　令|x-1|=A，则方程变为

　　A2-5A+6=0

　　∴A1=2，A2=3

　　由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；

　　由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。

　　x1+x2+x3+x4=4

　　故选D。

　　二、降次

　　例2已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。

（96年江苏省竞赛题）

　　解：

∵α是方程x2-x-1=0的根，

　　∴α2-α-1=0，α2=α+1（二次转化为1次）

　　α4=（α+1）2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2（四次转化为一次）

　　∴α4+3β=3α+2+3β=3（α+β）+2=3×1+2=5

　　三、整体代入

　　例3设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，…，Sn=x+1993x，则aS1993+bS1992+cS1991=　　　　。

（93年希望杯竞赛试题）

　　解：

∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，

　　∴ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。

　　aS1993+bS1992+cS1991=a（x+1993x）+b（x+1993x）+c（x+1993x）=（ax+bx+cx）+（a·1993x+b·1993x+c·1993x）=x（ax+bx1+c）+1993x（ax+bx2+c）=0。

　　四、配偶

　　例4已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。

（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）

　　解：

由韦达定理，得

　　α+β=7，αβ=8

　　∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=49-16=33，

　　（α-β）2=（α+β）2-4αβ=49-32=17

　　∵α＞β，∴α-β=

　　设A=+3β2，

　　B=+3α2（A的配偶）

　　则A+B=+3（α2+β2）=+3×33=

　　A-B=-+3β2-3α2

　　=-3（α+β）（α-β）

　　=

　　∴2A=

　　A=

　　五、反客为主

　　例5求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。

（98年香港初中数学竞赛试题）

　　解：

设方程两整数根为α、β，则α+β=a。

　　由此可知a必为整数

　　将方程x2-ax+4a=0中的x视为常数，a视为未知数，方程可变为

　　（x-4）a=x2

　　∴a==x+4+

　　∵a为正整数

　　∴x=5,6,8,12,20。

　　此时对应的a值为a=25,18,16,18,25。

　　∴所有正实数a的值为25，18，16。

　　六、构造新方程

　　例6已知两数a、b，ab≠1，且

　　2a2+1234567890a+3=0

（1）

　　3b2+1234567890b+2=0

（2）

　　则=　　　　。

（91年“希望杯”竞赛试题）

　　解：

显然b=0不是方程

（2）的解，方程

（2）两边同除以b2，得

　　3+1234567890×+=0

　　即2（）2+1234567890×+3=0

　　考虑方程2x2+1234567890x+3=0中，

　　△=12345678902-24＞0

　　∴方程有两个不相等的实数根

　　而ab≠1，即a≠

　　∴a、是方程2x2+1234567890x+3=0的两个根。

　　∴a·=，即=

　　七、反证法

　　例7设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：

三个方程

　　ax2+2bx+c=0

　　bx2+2cx+a=0

　　cx2+2ax+b=0

不可能都有两个相等的实数根。

（97年山东省数学竞赛试题）

　　证明：

若三个方程都有两个相等的实数根，

　　则

　　三式相加，得

　　4（a2+b2+c2）-4（ab+bc+ca）=0，

　　a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

　　2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，

　　（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0

　　∴a=b=c

　　这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。

　　故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。

　　八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解

　　例8求满足如下条件的所有k值：

使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数。

（98年江苏省竞赛试题）

　　解：

当k=0时，原方程化为x-1=0，x=1，符合题意。

　　当k≠0时，设原方程的两个整数根为α、β，不妨设α≥β。

由韦达定理，得

　　α+β=-=-1-，

（1）

　　αβ==1-。

（2）

（2）-

（1），得αβ-α-β=2

　　∴αβ-α-β+1=3，（α-1）（β-1）=3

　　∵α、β是整数，∴α-1、β-1也是整数，又α≥β，

　　∴

　　∴

　　于是α+β=6或α+β=-2

　　分别代入

（1），得k=-或k=1

　　∴当k=0，-，1时，原方程的根都是整数。

　　九、整体变形

　　例9设a、b、c、d＞0，证明在方程

　　x2+

　　x2+

　　x2+

　　x2+

中，至少有两个方程有不相等的实数根。

（92年“希望杯”竞赛试题）

　　证明：

设这四个方程的判别式分别为△1、△2、△3、△4，则

　　△1=2a+b-2

（1）

　　△2=2b+c-2

（2）

　　△3=2c+d-2（3）

　　△4=2d+a-2（4）

　　∴△1+△3=（a+b-2）+（c+d-2）+a+b=（）2+（）2+a+b＞0（5）

　　△2+△4=（b+c-2）+（d+a-2）+b+d=（）2+（）2+b+d＞0（6）

　　若△1≤0，△3≤0，则△1+△3≤0，与（5）矛盾。

故△1、△3中至少有一个大于0。

　　同理，△2、△4中也至少有一个大于0。

　　∴所给的四个方程中，至少有两个方程有不相等的实数根

　　十、分类讨论

　　例10已知三个关于x的方程：

　　x2-x+m=0

（1）

　　（m-1）x2+2x+1=0

（2）

　　（m-2）x2+2x-1=0（3）

　　其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是（　　）

　　A、m≤2　　　　　　　　　　　B、m≤或1≤m≤2

　　C、m≥1　　　　　　　　　　　D、≤m≤1

（98年山东省竞赛试题）

　　解：

（1）有实根的条件是1-4m≥0，m≤，无实根的条件是m＞。

（2）有实根的条件是m-1=0或，即m=1或m≤2且m≠1，无实根的条件是m＞2。

　　（3）有实根的条件是m-2=0或，即m=2或m≥1且m≠2，无实根的条件是m＜1。

　　①若

（1）

（2）有实根，（3）无实根，则

　　，解得m≤。

　　②若

（1）（3）有实根，

（2）无实根，则

　　，不等式组无解。

　　③若

（2）（3）有实根，

（1）无实根，则

　　，解得1≤m≤2。

　　④若

（1）

（2）（3）均有实根，则

　　，不等式组无解。

　　∴当m≤或1≤m≤2时，至少有两个方程有实根。

　　故应选B。

　　十一、数形结合

　　一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑，由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。

　　例11是否存在这样的实数k，使得二次方程x2+（2k+1）x-（3k+2）=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？

若有，试确定k的取值范围；若没有，简述理由。

（2000年数学奥林匹克训练题）

　　解：

设f（x）=x2+（2k-1）x-（3k+2），则其图象为开口向上的抛物线。

根据题意若方程有两个实数根，且两根都在2与4之间，则抛物线与x轴应有两个交点或一个交点，且交点都在2与4之间（如图）。

符合条件的k值应满足下列条件：

（1）即4（k+1）2+5≥0，k可取任何实数。

（2）的解是k＞0。

　　（3）的解是k＞-2。

　　（4）的解是-＜k＜-。

　　∴这个不等式组无解。

　　故符合条件的k值不存在。