专题三：一次函数、二次函数、反比例函数.docx

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专题三：

一次函数、二次函数、反比例函数

樟木一中李庆娟

一.中考考点清单

考点1、了解函数的概念和三种表示方法

2、一次函数的图象和性质

（1）概念：

一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，k0）的函数，叫做。

当b=0时，即y=kx，这时称y是x的

（2）一次函数的图象和性质

一般形式：

y=kx+b（k≠0）一次函数的图像是。

当k＞0时，直线y=kx+b经过第象限，ｙ随ｘ的增大而　　　　　；

当k＜0时，直线y=kx+b经过第象限，ｙ随ｘ的增大而　　　　　.

考点3、确定一次函数的解析式

（1）待定系数法的步骤

（2）平移法

把直线y=kx+b（k≠0）向右或向左平移m（m＞0）个单位长度的到的解析式为

把直线y=kx+b（k≠0）向上或向下平移m（m＞0）个单位长度的到的解析式为

考点4一次函数与方程（组）、不等式的关系

（1）方程kx+b=0是一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的横坐标

（2）不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集是一次函数y=kx+b的图像在x轴上方或下方部分对应的

考点5、反比例函数 图象和性质 

（1）图像与性质

当k＞0时，双曲线分布在第象限，在每一象限y随x的增大而；当k＜0时，双曲线分布在第象限，在每一象限y随x的增大而.   

（2）系数K的几何意义

反比例函数图像上任意一点P（x,y）作x轴，y的轴垂线，所得矩形的面积S=

考点6、二次函数的 图象和性质

（1）对称轴是

（2）顶点坐标

（3）增减性：

当a＞0时,在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧，y随x的增大而；当a＜0时,在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧，y随x的增大而；

（4）最大或最小值是

考点7、二次函数图像的平移

二次函数y=ax2向右或向左平移m（m＞0）个单位长度的到的解析式为

二次函数y=ax2向上或向下平移h（h＞0）个单位长度的到的解析式为

考点8、二次函数解析式的确定

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为；

（2）当已知抛物线的顶点坐标（h,k）和抛物线上另一点时，通常设为；（3）当已知抛物线与x轴的交点坐标（x1,0）和（x2,0）时，通常设为；

二、方法归纳

一次函数、二次函数的平移法：

给x左加右减；给函数整体上加下减

函数解析式的求法：

待定系数法

三、例题分析

类型一一次函数的应用

例1、如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，动点M从A出发，以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动，同时动点N从A出发，以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC﹣CB运动，M，N第一次相遇时同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A．B．C．D．

【解析】首先根据题意，运用分类讨论的数学思想求出y关于时间x的函数关系式，问题即可解决．

解：

设M，N第一次相遇时间为xs，

由题意得：

2x+x=16，

解得x=；

根据题意：

当点N在AD边，或在DC边上运动时，点M均在AB边上运动；

当点N在BC边上运动时，点M、N均在BC边上运动，直到相遇停止；

此时MN=4﹣（2x﹣8）﹣（x﹣4）=﹣3x+16

∴y=，

故选C．

变式练习：

1、.如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AB=4，D为AB上的动点，DP⊥AB交折线A-C-B于点P，设AD=x，△ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（   ）                                                                     2、巴西奥运会期间，童童从宾馆出发前往奥体中心观看中国女排决战塞尔维亚，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，她搭乘朋友的车顺利到家。

其中x表示童童从宾馆出发后所用时间，y表示童童离宾馆的距离．下图能反映y与x的函数关系式的大致图象是（）

 答案1、B2、A                               

类型二一次函数与不等式的关系

例2、如图所示，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．         B．  

C．         D．

解析：

两条直线的交点P的横坐标是-1，在P点右侧y1＞y2,不等式x+b＞kx﹣1的解集是x＞-1

故选A

变式练习1、24、如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组的解是_____．

2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），

B（，2）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出＞时的取值范围．

答案1、2、

（1）;

（2）1

 类型三二次函数的图像判断与a,b,c相关的结论

例3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：

①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．

其中正确的结论有（　　）

A、1个B、2个C、3个D、4个

【解析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据对称轴判断出b＞0，根据抛物线与y轴的交点判断出c＞0，然后根据有理数的乘法判断出①错误；根据抛物线的顶点坐标判断②正确；根据图象，抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），然后根据x=2时的函数值大于0判断出③正确；根据抛物线对称轴求出④正确；根据x=﹣1时的函数值为0，再把a用b表示并代入整理得到2c=3b，判断出⑤错误．

【解答】解：

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴为直线x=﹣=1，

∴b=﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵顶点坐标为（1，2），

∴x=1时，函数最大值是2，故②正确；

根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（0，3），

∴x=2时，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③正确；

∵b=﹣2a，

∴2a+b=0，故④正确；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

∴﹣﹣b+c=0，

∴2c=3b，故⑤错误；

综上所述，正确的结论有②③④共3个．

故选C．

变式练习1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①b2＞4ac；

②abc＞0；

③2a﹣b=0；

④8a+c＜0；

⑤9a+3b+c＜0．

其中结论正确的是　　．（填正确结论的序号）

2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）

答案1、①②⑤2、B

类型四、一次函数和二次函数的平移

例4、将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是 ______．

【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可

故答案_y＝2x－2

例5、抛物线y=3x2先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是　　．

【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

解：

由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=3x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=3（x﹣1）2+2，

故答案为：

y=3（x﹣1）2+2．

变式练习1、将直线y＝3x＋1向右平移3个单位长度后所得直线的表达式是 ______．

2、抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　　．

答案1、y＝3x-82、　y=x2﹣8x+20　．

类型五函数的解析式的确定

例6、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（-2，-1）、B（1，）两点．！

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．

【解析】试题分析：

（1）将点A的坐标代入反比例函数，求出m，将点B的坐标代入反比例函数求出n，利用待定系数法确定一次函数解析式；

（2）找到反比例函数图象在一次函数图象之上的x的取值范围即可．

试题解析：

（1）由图知点A的坐标为（－2，－1）

∵点A（－2，－1）和B（1，n）都在的图象上，

∴ 解得

答案

∴反比例函数的解析式为

∵一次函数的图象过点A、B，

∴ 解得

∴一次函数的解析式为

（2）当时，一次函数的值大于反比例函数的值

例7、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是﹣2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．

【解析】

（1）把A（﹣3，0）和点B（1，0），代入y=x2+bx+c，建立关于b，c的二元一次方程组，求出b，c即可；

（2）先求出抛物线的对称轴，又因为A，B关于对称轴对称，所以连接BD与对称轴的交点即为所求P点．

解：

（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y=x2+bx+c，

得，

解得

∴y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4

∴对称轴x=﹣1，

又∵A，B关于对称轴对称，

∴连接BD与对称轴的交点即为所求P点．

过D作DF⊥x轴于F．将x=﹣2代入y=x2+2x﹣3，

则y=4﹣4﹣3=﹣3，

∴D（﹣2，﹣3）

∴DF=3，BF=1﹣（﹣2）=3

Rt△BDF中，BD=

∵PA=PB，

∴PA+PD=BD=．

故PA+PD的最小值为．

变式练习1、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A﹙﹣2，﹣5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．

（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；

（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．

（3）当kx+b＞时，请写出自变量x的取值范围．

2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2﹣bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．

（1）则b=　　，c=　　；

（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式．

答案1、解：

（1）把A﹙﹣2，﹣5﹚代入y=得：

m=10，

即反比例函数的表达式为y=，

把C﹙5，n﹚代入y=得：

n=2，

即C（5，2），

把A、C的坐标代入y=kx+b得：

，

解得：

k=1，b=﹣3，

所以一次函数的表达式为y=x﹣3；

（2）把x=0代入y=x﹣3得：

y=﹣3，

即OB=3，

∵C（5，2），A﹙﹣2，﹣5﹚，

∴△AOC的面积为×3×|﹣2|+×3×5=10.5；

（3）由图象可