地震紧急撤离问题数学建模.docx

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地震紧急撤离问题数学建模

辽宁工业大学

2020年数学建模（论文）

题目：

地震紧急撤离问题

院（系）：

电子与信息工程学院

专业班级：

运算机071班

学生姓名：

韩伟、何林强、章杰

起止时刻：

—

摘要

本文借用流体动力学中的微分关系，通过将离散的人员转化为持续的人流，以人流密度为研究主体，成立了人员撤离的动态微分方程优化模型，分析了地震发生时人员紧急撤离的问题。

并依照咱们所在教学楼的楼层建筑的数据别离估算了混乱状况下与有组织时人员撤离的时刻，为人员的紧急撤离提供了参考方案。

第一，本文分析了在无组织的状态下，人员撤离的一样情形。

一方面，无组织下人员的运动具有随机性，故此引入人流密度作为大体研究对象。

另一方面，流量的转变率是人流密度对距离积分后对时刻的导数，人流量对时刻的积分即为撤离人员的数量。

由此几方面关系，能够列出整个动态进程的微分方程。

经分析发觉，单位时刻的人流量与密度和速度成正比关系，而整体的人流速度与密度之间又是成一次线性关系，恰好符合流体力学中的流量、流速与密度之间的关系。

依如实际情形对整求解进程做了简化，以楼道中的平均人流量为研究主体，最终以数值解求得全数人员逃离所需时刻大约为420s.

第二，利用得出的人流量随时刻转变的图像可知，由于人员无组织的涌出教室，致使人流密度专门大，人群得不到有效的移动，从而使流量达到最大值后又迅速减小。

故最好的撤离方式是在达到流量最大的时候，维持住必然的人流密度从而来维持最大的流量。

结合数据后可知，在撤离开始一分钟的时候应该有人组织撤离，如此能够幸免由于人员的过量涌入楼道而致使的拥堵现象。

如此子调控后最正确的撤离时刻能够降到240秒左右。

第三，除去人为堵塞的因素对撤离时刻阻碍较大外，改变楼层的设计一样能够缩短撤离所历时刻。

于是，文章讨论了实际楼层中的参数，如楼层中疏散通道的宽度、教室门的宽度和疏散口的数量等，对紧急撤离时刻的阻碍。

并得出结论疏散口的增加与疏散通道的加宽对撤离时刻的缩短有明显的提高。

最后，由于不同的楼层人员速度不一样会致使在楼道中的相互推挤现象，此举对人员在楼道中人员的有效流动有较大阻碍。

故咱们引入混乱时刻的概念，用来具体量化由此致使的时刻的浪费情形。

分析后可知混乱时刻要紧决定于相临两层人员的速度差，由于混乱时刻与速度差成正比关系，而且在速度差为正值的时候时刻较大，而为负值不时刻较小，故利用指数函数来表示二者的关系。

由此成立了以总的混乱时刻最小为目标的优化模型。

利用atlab对各类指派情形进行比较，得出最了优解。

关键词：

人流量动态微分方程最正确撤离混乱时刻

一、问题的提出

最近世界各地接连发生强烈地震，造成人员重大伤亡，遇难者大多是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所（如学校）伤亡犹其惨重。

若是地震发生之时人们能在第一时刻迅速撒离建筑物，那么伤亡可能会小得多！

因此，在灾难发生之时，建筑物内的人员是不是能迅速撤离是有关人身平安保障的大问题，关于一个特定的建筑物，大伙儿最关切建筑物内所有的人全数撤离完毕所历时刻，以便于安排建筑物的出口和撤离方案。

依照咱们所在的宿舍的平面示用意，搜集相关数据，完成下面的问题：

一、成立数学模型来分析这栋楼的人员有组织、有秩序地迅速疏散、撤离所用的时刻；

二、依照你成立的数学模型给出最正确撤离方案；

3、为方便紧急撤离，结合实际，就该楼的设计方案给出合理化的建议。

4、就假设教学楼按你估量的方案建设,考虑到不同年龄的学生的运动能力不同,为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案.

图宿舍平面图

二、大体假设及符号说明

大体假设

疏散进程中，人群的流量与疏散通道的宽度、行走速度有关；

所有人员在突发事件发生后同时疏散，半途不退后；

所有人员在疏散进程中不发生踩踏事件；

每一个年级在同一个楼层；

符号说明

符号说明

ρi（x,t）第x位置，第t时刻，第i层楼的人员密度；

Qi（x,t）第x位置，第t时刻，第i层楼的人流量；

Lw走廊宽度；

Ls楼梯宽度；

б（ρ）人员密度为时的拥堵调控系数；

Vw撤离人员在走廊的平均速度；

VwMax撤离人员在走廊的最大速度；

Vs撤离人员在楼梯的平均速度；

VsMax撤离人员在楼梯的最大速度；

R（t）第i层楼进入楼梯间的人数；

M单位时刻内从教室进入走廊的人员数；

Ni第i个教室的总人数；

三、问题分析

问题一

依照人流运动的特点，成立基于流体动力学的微分方程模型。

将每一个楼层分为教室出口处和非教室出口处，由于不同位置流入流出的人流量不同，故能够动态的分析出不同时刻不同位置的人流量密度。

以任意小区间段的人流量为考虑对象，该区间两头人流量之差即为该区间人数转变率。

依照此关系成立微分方程，接触各个位置的人流量密度函数。

现在，用出口处的人流量对时刻积分即为已撤离出的人员数量。

求解积分方程，取得当撤离人数为教学楼总人数时所经历的时刻，即为人全数撤离出所消耗的时刻。

问题二

通过度析问题一结果发觉阻碍撤离时刻的要紧因素为人流量密度，当人流量密度过大时会致使人员移动区间变小，使得撤离速度的下降。

故当撤离人流量最大时，应使撤离人数与从教室流入走廊的人数相同，以此维持人流量密度一直维持在最好的水平，使得单位时刻内撤离的人数最多，此为最正确撤离方案。

问题三

分析问题一所列出的微分方程式，结合实际，以为走廊、楼道宽度和楼梯数量为制约撤离时刻的要紧因素，应适当改良。

并结合实际情形中的其他因素，提出假设干可行性建议。

问题四

以为每一个楼层只安排一个年级，将撤离时刻定为无干扰时的撤离时刻和相邻两层相互制约而产生的混乱时刻之和。

不管楼层如何安排，无干扰撤离时刻不变。

而关于混乱时刻，其数值正比于基层撤离速度与该层速度之差。

若是下一层的速度比本层大，那么混乱时刻很小，若是下一层的撤离速度大于该层，那么会产生专门大的混乱时刻。

基于此情形，概念混乱时刻是关于相邻两层人员撤离速度差的指数函数。

通过编程，对各种情形进行遍历，能够求出混乱时刻最小时的楼层安排方案，即为最合理的教室分派方案。

四、模型预备

大体公式预备

撤离人员从走廊、楼梯撤离，其情形就像在湍急的江河中奔腾的流水一样。

故咱们运用流体动力学中的概念去解决该问题。

依照流体动力学中速度与密度的概念，取得速度与流体密度关系公式：

其中：

ρm表示单位平面内能够容纳的最多人数；

VwMax表示人在撤离稳固时期能够行走的最大速度；

此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度慢慢降低，当人流密度抵达最大值的时候由于没有行走空间，因这人行走速度降为零。

由于在稳固的时候，撤离人员处于稳固持续状态。

因此依照流体动力学知识有如下方程：

表示：

时刻t，区间[a，b]内的撤离人员的数量为

单位时刻内通过a，b点的流量Qi（a,t）,Qi（b,t）之差等于撤离人员数量的转变率。

楼梯间中行走长度的确信

依如实际情形，假设在楼梯间行走的距离为

，如图1：

图楼梯长度示用意

五、模型成立

针对问题一

模型一

将整栋楼看做一个整体，设其密度均匀，人员从20个教室流入，从楼出口处流出，依照节中大体公式列微分方程求解。

将整个撤离进程分为稳固前时期和稳固时期两个时刻段。

1）稳固前时期

设定稳固前状态即为距离楼梯间最近的教室的人员抵达下一楼层之前的时刻段。

现在，由于整个教学楼均处于畅通的状态，因此设现在期的撤离速度为Vbefor。

由此能够确信出抵达稳固时期时，楼梯间和走廊的初始密度。

能够取得稳固前时期所消耗的时刻：

2）稳固时期

依照节中的公式，能够列微分方程：

其中：

表示整个教学楼的平均密度；

表示在楼梯间中的平均撤离速度；

表示走廊长度总和；

表示楼梯间的长度总和；

该方程未考虑由于走廊拥堵而造成的教室中人员无法抵达走廊的情形，为考虑此情形，引入拥堵调控系数

表示在教室出口处的密度与能够从教室出去人数的调控函数，若是出口处密度为零时,即教室里面的撤离人员均能抵达走廊。

若是出口处的密度已为最大值，即教室里面的撤离人员无法抵达走廊。

现在的微分方程为：

依照节，将速度与密度的关系代入上式有：

解微分方程能够取得人员撤离密度关于时刻的函数，设通过T时刻，所有人员撤离完毕，有：

反解出时刻T即为稳固时期撤离完毕所花费的时刻。

故全数人员撤离消耗的时刻为：

由于此模型过于简化，并无考虑到各层楼走廊和楼梯间的拥堵情形，分析问题过于粗略。

故咱们将每层的走廊和楼梯间分开考虑，引入模型二。

模型二

将每一个楼层看做一个整体，将其密度视为均匀，记为ρi（t）。

现在依旧从稳固前与稳固两个时期去分析整个撤离进程。

稳固前时期与模型一一致，在此不详细论述。

关于稳固时期，对每一个楼层进行分析，依照模型一的思想，列方程如下：

代入人流量与密度方程，化简取得：

如模型一考虑，引入拥堵调控系数б（ρ），取得方程如下：

解微分方程能够取得，取得第i个楼层进入楼梯间的人数：

每一个楼层均为此，考虑楼梯间的情形。

将每一个楼层视为教室，整个楼梯间为走廊，列类似微分方程：

解该微分方程，能够取得楼梯间的人流密度ρ（t）。

现在，取得最终从出口撤离的人员数量与时刻的关系：

模型三

对整个走廊和楼梯间的整个长度分成无穷小段，基于流体动力学知识，成立更具有一样性的模型，计算出全数人员撤离完毕需要时刻。

依旧将整个撤离进程分为稳固前、稳固两个时期进行分析。

1）针对稳固前时期

设定稳固前状态即为距离楼梯间最近的教师的人员抵达下一楼层之前的时刻段。

现在，由于整个教学楼均处于畅通的状态，因此设现在期的撤离速度为Vbefor。

由此能够确信出抵达稳固时期时，楼梯间和各层走廊的初始密度。

能够取得稳固前时期所消耗的时刻：

2）针对稳固时期

对每一层进行考虑，依如实际位置散布成立坐标系，如图

图任意楼层走廊坐标系的成立

确信每一楼层每一个时刻不同位置的撤离人员密度。

由于在教室的出口处会有撤离人员流向走廊，因此在每一个教室的出口处，密度转变率大于其他位置，如图：

图教室出口处的密度转变示用意

i教室出口处的密度转变率：

取平均位置，设撤离人员流出位置为教室门处，列微分方程如下：

简化得：

令Δt→0有：

原式

iv楼梯间里面各个位置密度的转变率：

针关于楼梯间内部，将其类比为某一楼层的走廊，各个楼层进入楼梯间的

撤离人员数量相当于该楼层各个教室进入走廊的数量。

基于此假设，列出类似微分方程：

最终只需计算出从出口撤离的人员数量与时刻的关系即可：

现在，通过时刻T，所有人员撤离完毕，有如下方程：

反解出T即可。

现在所有人员撤离需要的时刻为：

可是由于模型三方程过于复杂，无法给出解析解，只能利用微分转差分进行数值分析。

鉴于前两个模型已经给出相应的撤离时刻，故此模型并无作相应的计算，仅作为一更详细的大体方程。

问题二

模型成立

题目要求给出撤离时刻最短的时候的人员撤离方案，由图能够清楚的看

出，撤离人员的总人数即为图像所围成的面积。

在总人数不变的情形下，要缩短撤离总时刻，只能使得各个时刻出口处的

人流量维持最大值，增大图像面积，如图8竖线所示。

依照上题分析，出口处人流量降低的要紧缘故是楼道人