贪心算法和分支限界法解决单源最短路径Word格式.docx
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dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。
在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S
如果dist[u]+c[u][i]<
dist[i]，则需要更新dist[i]的值。
步骤如下：
1、用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图,c[i][j]表示弧<
vi,vj>
上的权值。
设S为已知最短路径的终点的集合，它的初始状态为空集。
从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：
dist[i]=c[v][i],vi属于V；
2、选择vu,使得dist[u]=Min{dist[i]|vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。
令S=SU{u}；
3、修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:
如果dist[u]+c[u][j]<
dist[j]则修改dist[j]=dist[u]+c[u][j]；
4、重复操作
（2）,（3）共n-1次。
三、算法实现代码：
#include<
stdafx.h>
iostream>
fstream>
string>
usingnamespacestd;
constintN=5;
constintM=1000;
ifstreamfin（"
4d5.txt"
）;
template<
classType>
voidDijkstra（intn,intv,Typedist[],intprev[],Typec[][N+1]）;
voidTraceback（intv,inti,intprev[]）;
//输出最短路径v源点，i终点intmain（）
{
intv=1;
//源点为1
intdist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1];
cout<
<
"
有向图权的矩阵为：
"
endl;
for（inti=1;
i<
=N;
i++）
for（intj=1;
j<
j++）
fin>
>
c[i][j];
c[i][j]<
;
}
Dijkstra（N,v,dist,prev,c）;
for（inti=2;
源点1到点"
i<
的最短路径长度为:
dist[i]<
，其路径为"
Traceback（1,i,prev）;
return0;
voidDijkstra（intn,intv,Typedist[],intprev[],Typec[][N+1]）
bools[N+1];
=n;
dist[i]=c[v][i];
//dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度
s[i]=false;
if（dist[i]==M）
prev[i]=0;
//记录从源到顶点i的最短路径i的前一个顶点
else
prev[i]=v;
dist[v]=0;
s[v]=true;
n;
inttemp=M;
intu=v;
//上一顶点
//取出V-S中具有最短特殊路径长度的顶点u
if（（!
s[j]）&
&
（dist[j]<
temp））
u=j
temp=dist[j];
s[u]=true;
//根据作出的贪心选择更新Dist值
（c[u][j]<
M））
Typenewdist=dist[u]+c[u][j];
if（newdist<
dist[j]）
dist[j]=newdist;
prev[j]=u;
//输出最短路径v源点，i终点voidTraceback（intv,inti,intprev[]）
if（v==i）
i;
return;
Traceback（v,prev[i],prev）;
->
I;
四、计算复杂性
对于一个具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那
么Dijkstra算法的主循环体需要O（n）时间。
这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要
0（nA2）时间。
算法的其余部分所需要的时间不超过0（n^2）。
五、运行结果：
间图权的矩阵为’
1010S030100leaa
1B00
4
-
为为为为苴八苴苴八苴八
0000
1536
为为为为丽庫<
■度度0S8・
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11
1BB8
方法2:
分支限界法
一、分支限界法解决单源最短路径问题描述：
采用广度优先产生状态空间树的结点，并使用剪枝函数的方法称为分枝限界法。
所谓“分
支”是采用广度优先的策略，依次生成扩展结点的所有分支（即:
儿子结点）。
所谓“限界”
是在结点扩展过程中，计算结点的上界（或下界），边搜索边减掉搜索树的某些分支，从而
提高搜索效率
按照广度优先的原则，一个活结点一旦成为扩展结点（E-结点）R后，算法将依次生成
它的全部孩子结点，将那些导致不可行解或导致非最优解的儿子舍弃，其余儿子加入活结点
表中。
然后，从活结点表中取出一个结点作为当前扩展结点。
重复上述结点扩展过程，直至
找到问题的解或判定无解为止。
二、分支限界法算法思想描述：
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。
结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插当前扩展结点相邻的所有顶点。
如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。
这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。
在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。
从源顶点s出发，2条不同路径到达图G
的同一顶点。
由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。
#include"
stdafx.h"
MinHeap2.h"
6d2.txt"
classGraph
friendintmain（）;
public:
voidShortesPaths（int）;
private:
int
n,
//图G的顶点数
*prev;
//前驱顶点数组
Type
**c,
//图G的领接矩阵
*dist;
//最短距离数组
};
classMinHeapNode
friendGraph<
Type>
operatorint（）const{returnlength;
inti;
//顶点编号
Typelength;
//当前路长
voidGraph<
:
ShortesPaths（intv）//单源最短路径问题的优先队列式分支限界法
MinHeap<
MinHeapNode<
H（1000）;
E;
//定义源为初始扩展节点
E.i=v;
E.length=0;
dist[v]=0;
while（true）//搜索问题的解空间
for（intj=1;
j<
=n;
if（（c[E.i][j]!
=0）&
（E.length+c[E.i][j]<
dist[j]））{
//顶点i到顶点j可达，且满足控制约束
dist[j]=E.length+c[E.i][j];
prev[j]=E.i;
//加入活结点优先队列
N;
N.i=j;
N.length=dist[j];
H.Insert（N）;
}'
try
H.DeleteMin（E）;
//取下一扩展结点
catch（int）
break;
if（H.currentsize==0）//优先队列空
intmain（）
intn=11;
intprev[12]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
intdist[12]={1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000};
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