人教A版新编版必修三导学案设计含答案第二章23.docx
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人教A版新编版必修三导学案设计含答案第二章23
【人教A版】新编版必修三导学案设计（含答案）第二章-2.3
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[学习目标] 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．
知识点一 变量间的相关关系
1．变量之间常见的关系
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系
变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函数关系
①函数关系中两个变量间是一种确定性关系；②函数是一种因果关系，有这样的因，必有这样的果．例如，圆的半径由1增大为2，其面积必然由π增大到4π
①在一定的条件下可以相互转化，对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其线性回归方程后，可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行评估；
②相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况
相关关系
①相关关系是一种非确定性关系．例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅增加，两者之间即是一种非确定性的关系；②相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系
知识点二 散点图及正、负相关的概念
1．散点图
将样本中n个数据点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．
2．正相关与负相关
（1）正相关：
散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
（2）负相关：
散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
思考 任意两个统计数据是否均可以作出散点图？
答 可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．
知识点三 回归直线
1．回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程与最小二乘法
我们用yi－i来刻画实际观察值yi（i＝1,2，…，n）与i的偏离程度，yi－i越小，偏离越小，直线就越贴近已知点．我们希望yi－i的n个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的．由于把yi－i这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Q＝（yi－a－bxi）2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．
用最小二乘法求回归方程中的，有下面的公式：
其中＝i，＝i.
这样，回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为＝x＋.
思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？
答 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系（可利用散点图来判断），否则求出的回归方程是无意义的．
题型一 变量间相关关系的判断
例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
解 两变量之间的关系有两种：
函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
综上，②④中的两个变量具有相关关系．
反思与感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A．正方体的棱长与体积
B．角的度数与它的正弦值
C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量
D．日照时间与水稻的单位产量
答案 D
解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项V＝a3，B项y＝sinα，C项y＝ax（a＞0，且a为常数），所以这三项均是函数关系．D项是相关关系．
题型二 散点图
例2 5名学生的数学和物理成绩（单位：
分）如下：
学生
成绩
A
B
C
D
E
数学成绩
80
75
70
65
60
物理成绩
70
66
68
64
62
判断它们是否具有线性相关关系．
解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．
反思与感悟 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
跟踪训练2 对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图①；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图②.由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
答案 C
题型三 求回归直线的方程
例3 某种产品的广告费支出x（单位：
百万元）与销售额y（单位：
百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求回归方程．
解
（1）散点图如图所示．
（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
x
4
16
25
36
64
＝5，＝50，＝145，iyi＝1380
于是可得，＝＝＝6.5，
＝－＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的回归方程是＝6.5x＋17.5.
反思与感悟 1.求回归方程的步骤
（1）列表xi，yi，xiyi.
（2）计算，，，，iyi.
（3）代入公式计算，的值．
（4）写出回归方程＝＋x.
2．求回归方程的适用条件
两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断．
跟踪训练3 2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入x（万元）
2
4
4
6
6
年饮食支出y（万元）
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
年收入x（万元）
6
7
7
8
10
年饮食支出y（万元）
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
（1）如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；
（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
（参考数据：
iyi＝117.7，＝406）
解 依题意可计算得：
＝6，＝1.83，2＝36，
＝10.98，又∵iyi＝117.7，＝406，
∴＝≈0.17，＝－＝0.81，
∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.
（2）当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34（万元）
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
数形结合思想
例4 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y（单位：
万元）和房屋面积x（单位：
m2）的数据：
房屋面积x
115
110
80
135
105
销售价格y
49.6
43.2
38.8
58.4
44
判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系．如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？
分析 作出散点图，利用散点图进行判断．
解 数据对应的散点图如图所示．
通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，且是正相关．
解后反思 判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．注意不要受个别点的位置的影响．
1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有（ ）
A．确定性关系B．相关关系
C．函数关系D．无任何关系
答案 B
解析 炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等的影响，故为相关关系．
2．设有一个回归方程为＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时（ ）
A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位
答案 C
解析 ∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．
3．某商品的销售量y（单位：
件）与销售价格x（单位：
元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）
A.＝－10x＋200B.＝10x＋200
C.＝－10x－200D.＝10x－200
答案 A
解析 结合图象（图略），知选项B，D为正相关，选项C不符合实际意义，只有选项A正确．
4．设某大学的女生体重y（单位：
kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1,2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
答案 D
解析 当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg.
5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y（kg）对身高x（cm）的回归方程为＝0.72x－58.2，张明同学（20岁）身高178cm，他的体重应该在________kg左右．
答案 69.96
解析 用回归方程对身高为178cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96（kg）．
1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．
2．求回归直线的方程时应注意的问题
（1）知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．
（2）用公式计算、的值时，要先算出，然后才能算出.
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为＝x＋，则x＝x0处的估计值为0＝x0＋.
1．下列有关线性回归的说法，不正确的是（ ）
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C
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