(1)=a-2.
②当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<0,在y轴的左侧,∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上递减.
∴f(x)min=f
(1)=a-2.
综上所述,f(x)min=
(2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
x∈[a,a+1],a∈R,对称轴为x=1.
当a+1<1,即a<0时,函数图象如图
(1),函数f(x)在区间[a,a+1]上为减函数,所以最小值为f(a+1)=a2+1;当a≤1≤a+1,即0≤a≤1时,函数图象如图
(2),在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f
(1)=1;当a>1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[a,a+1]上为增函数,所以最小值为f(a)=a2-2a+2.
综上可知,g(a)=
【例4】
(1)若函数f(x)=x2+2ax+3在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为__(-∞,-6]∪[4,+∞)__.
(2)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是!
!
!
###.
解析
(1)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(2)函数f(x)图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,由二次函数的图象知m的取值范围为.
1.若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是( C )
A.2x-y=0 B.2x+y=0
C.4x-4y+1=0 D.4x+4y+1=0
解析 根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=x,f′(x)=,f′=1,故所求切线方程是4x-4y+1=0.
2.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( B )
A.[2-,2+] B.(2-,2+)
C.[1,3] D.(1,3)
解析 由题意可知,f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1.若有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],
即-b2+4b-3>-1,解得2-
3.已知函数f(x)=-x2+3x+4的定义域为[-2,2],则f(x)的值域为!
!
!
###.
解析 函数f(x)=-x2+3x+4图象的对称轴为x=,所以在区间[-2,2]上,函数的最大值为f=-2+3×+4=,函数的最小值为f(-2)=-(-2)2+3×(-2)+4=-6,所以函数的值域为.
4.(2018·广东广州摸底)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.
解析
(1)设f(x)=ax2+bx+c,
由f(0)=1,得