七年级数学整式的乘法(教师讲义带答案).doc

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第2章：

整式的乘除与因式分解

一、基础知识

1.同底数幂的乘法：

，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2.幂的乘方：

，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3.积的乘方：

，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：

（1）单项式的乘法法则：

一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘多项式法则：

单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

可用下式表示：

m（a+b+c）=ma+mb+mc（a、b、c都表示单项式）

（3）多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

5.乘法公式：

（1）平方差公式:

平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：

（a+b）（a－b）=a2－b2；其结构特征是：

公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.

（2）完全平方公式：

完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：

（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2；其结构特征是：

左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定.在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如（3x+y－2）2＝（3x+y）2－2×（3x+y）×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者（3x+y－2）2＝（3x）2+2×3x（y－2）+（y－2）2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.

（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有：

（1）．a2+b2＝（a+b）2－2ab＝（a－b）2+2ab.

（2）．ab＝［（a+b）2－（a2+b2）］＝［（a+b）2－（a－b）2］＝.

（3）．（a+b）2+（a－b）2＝2a2+2b2.

　　（4）．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.

6.整式的除法：

，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。

（1），任何不等于0的数的0次幂都等于1.

（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

7.因式分解概念：

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

8．常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：

把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

i多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

ii公因式的构成：

①系数：

各项系数的最大公约数；

②字母：

各项都含有的相同字母；

③指数：

相同字母的最低次幂。

（2）公式法：

（1）常用公式平方差：

完全平方：

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①；②．（为正整数）

（3）十字相乘法

ⅰ二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成

ⅱ二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：

。

（4）分组分解法

ⅰ定义：

分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：

=，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ⅱ原则：

分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

ⅲ有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

二、经典例题

第一部分整式的乘除

【例1】例题下列运算正确的是（）

A.a5+a5=a10B.a5·a5=a10C．a4·a5=a20D．（a4）5=a9

【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20．

【解析】本题应选Ｂ．

【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理．

【例2】下列运算正确的是（）

A.（－x）2x3=x6　　B.

C．　D．

【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加（－x）2∙x3=x2·x3=x5；选支B错在符号不对，负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，==；选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误，==；选支D运算正确．

【解析】本题应选Ｄ．

【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错．

【例3】下列运算在正确的是（）

A.

B.

C.

D.

[答案]B

[错因透视]

对整式运算法则理解不深入才会出现错误，

，，

【例4】计算：

（-2x2y）2·（-3xy）

【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算．

【解析】原式=4x4y2·（-3xy）（据积的乘方）

=[4×（-3）]（x4·x）（y2·y）（据乘法交换律、结合律）

=-12x5y3（据有理数的乘法、同底数幂的乘法）

【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：

2a2b·（-3ab2）·5abc

=[2×（-3）×5]·（a2·a·a）·（b·b2·b）·c=-30a4b4c

【例5】

（1）2xy（5xy2+3xy-1）

（2）（a2-2bc）·（-2ab）2

【思路点拨】

（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：

5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；

（2）小题应先算（-3ab）2，再用乘法交换律后的计算方法是相同的．

【解析】

（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·（-1）

=10x2y3+6x2y2-2xy

（2）原式=（a2-2bc）·4a2b2

=4a2b2·a2+4a2b2·（-2bc）

=4a4b2-8a2b3c

【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：

①出现漏乘，而导致缺项；②出现符号错误；③运算顺序出错，造成计算有错．

【例6】计算：

（1）（3x-2y）（2a+3b）

（2）（x-y）（x2+xy+y2）

【思路点拨】第

（1）题，先用x分别与2a、3b相乘，再用-2y分别与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第

（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加．

【解析】

（1）原式=3x·2a+3x·3b+（-2y）·2a+（-2y）·3b

=6ax+9bx-4ay-6by

（2）原式=x·x2+x·xy+x·y2+（-y）·x2+（-y）·xy+（-y）·y2

=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3

=x3-y3

【规律总结】

（1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号．

（2）乘积中有同类项，要合并同类项．

【例7】计算

（1）（3x2+2y2）（-3x2+2y3）

【思路点拨】仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的a，另一项（必须是互为相反数）当作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式．

【解析】原式=（2y3）2-（3x2）2

=4y6-9x4

【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用．

【例8】化简：

（1）（2a+3b）2

（2）（-x+2y）2（3）（-m-2n）2

【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第

（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第

（2）题（-x+2y）2=（2y-x）2=（x-2y）2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第（3）题（-m-2n）2=[-（m+2n）]2=（m+2n）2应选用“和”的完全平方公式简捷．

【解析】

（1）（2a+3b）2=（2a）2+2．2a．3b+（3b）2

=4a2+12ab+9b2

（2）（-x+2y）2=（2y-x）2=（2y）2-2·2y·x+x2

=4y2-4xy+x2

（3）（-m-2n）2=[-（m+2n）]2=（m+2n）2=m2+4mn+4n2

【规律总结】

（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中（-x+2y）2转化为（2y-x）2或（x-2y）2是一个常用技巧．

（2）完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首（a）平方、尾（b）平方，首（a）尾（b）乘积的2倍加减在中央”．

【例9】计算：

（1）y10÷y3÷y4

（2）（-ab）5÷（-ab）3

【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目

（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．

【解析】

（1）y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3

（2）（-ab）5÷（-ab）3=（-ab）2=a2b2

【规律总结】像

（2）这种题目，一定要计算到最后一步．

【例10】计算：

（1）xn+