线性代数试题库1答案2Word格式文档下载.docx
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1,52,
4.已知数域F上的向量a1,5,5线性无关，下列不正确的是（D）
中必有一个向量是其余向量的线性组合。
n
{（印,…,an）|a^R,i=1；
"
n且2a^0}
iT
7.向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是（
二.填空题（3X10=30分）
1.当且仅当
IX1+X2+X3=0
k=（-1或3）时，齐次线性方程组{3x1、-X2+kX3=0有非零解
I2
少^,+X2+kX3=0
ai
2.设A=a2
H0,B=（bi，b2，b3）H0,则秩（AB）%
（1）。
〔丄丄丄、
3.向量（X，y，Z）关于基（0，1/2,0），（1/3,0,0），（0,0，1/4）的坐标为V?
^,：
丿
4.设向量空间F2的线性变换
CT,T为CT（X1,X2）=（X1+X2,X2）,T（X1,X2）=（X1—X2,0）,贝U©
—1）&
1,X?
）=（2X1,X2）。
5.已知V=《为，％2,%3,&
）Ixj+2x2=0｝，则dimV=（3）。
解:
x=
解：
（1）f（N，X2，X3）=y2中y；
—y：
-5y2,
（2）r=5,（3）p=3;
s=1，⑷A=6>
0,是正定二次型。
CT佗）=cr（泸）=Zcr（n陆1n=卫（泸）=，令）！
=aa则；
U任意q,E2-V,a齐，由叭匕1+◎）=£
£
+%）=&
%+a©
2"
（匕1）+巩匕2）
b+c
C+a
a+b
a
b
C
2。
行列式
6+0
5+a1
a1+b1
=2
a1
b1
C1
匕2+C2
C2中a?
a^bz
a2
b2
C2
b（k£
）=akq=k（a上1）=kb（£
）,•.cr是线性变换。
c
证：
原式=
+
bi
=
bl
Ci+
Ci
ci
32
■-
二二二
、■六
1.n
选择题：
（3X5=15分）
阶行列式D的元素aj的余子式Mj与aj的代数余子式Aj的关系是（C）
Aj=MjBo
Aij=（-1）nMjCoAj=（-1）i^MjD。
A.当m<
n时，有非零解B.当m>
C.当m=n时，只有零解D.当m=n时，只有非零解
3.已知n维向量《1,5,g线性无关，下列不正确的是（D）
Aot1,ot2线性无关B.a2,ot3线性无关C.ot3,^1线性无关D.a1,ot2,ot3中必有一个向量
是其余向量的线性组合。
4.若A是mxn矩阵，且r（A）=r，贝JA中（
A.至少有一个r阶子式不等于0,但没有等于0的r-1阶子式;
B.必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式;
C.
有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式;
D.
三、计算题
I22厂
由E-A=1,兀2=3X1=（1,-1T，X2=（1,1『分别单位化，得几1=
r运Q
22_
72J2
3.设二次型f（X1,X2,X3）=X12+2x；
+5x；
+2X1X2+2X1X3+6X2X3,回答下列问题:
（1）将它化为典范型。
二次型的正、负惯性指标及符号差为何?
二次型是否是正定二次型?
（12分）
（1）f（N，x2，X3）=%2+y2+yI-y}-5y5
（2）r=5,（3）p=3;
s=1,（4）A=6>
0,是正定二次型。
1
-1
2
求向量组的秩及其一个极大无关组。
4.设向量组4
a2=
a3
3、
7
（101分）
引
5'
3丿
a5
r1
<
叶•1_1
4
a1
1-1
03
a2
3
A=30
14
日3
T03
a3—3a1
a3—3a1—a2
21
5
6
a4
-2
a4—2a1
-4
a4—2a1—a2
日5
00
a5—a1
0a5
—a1—（a4—2a1
-a2）
其中r-
=0,a2-
（a4
-2a]-a4
r（A）=3,
曰
-a2
a1-
}=
0由此
^1宀2，a4疋
个极大尢
关组，
3'
=3^1+a
2,a5
——
-a2+a4
四、证明题
证明：
（Aa,AP）=（AaJaP=aTATAP"
Cl
C1+
线性代数试题库（3）答案
、选择题（3X5=15分）
1.已知m个方程n个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C）
3.n阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（C）
必有一个向量是其余向量的线性组合。
5.设Ct1,^2,ss是四维欧氏空间V的一个标准正交基,a=6+^2-s-J,
C.2D.4
二.填空题（3X6=18分）
1.设A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型X'
（A'
A）X的标准形是（X'
lX）.
3.向量（x,y,z）关于基（0,1/2,0）,（1/3,0,0）,（0,0,1/4）的坐标为
4.设％，身叫已是四维欧氏空间V的一个标准正交基，a"
1+^2-（X3“4,l3'
2'
4丿
则e|=
（2）
Pa）
5.已知实矩阵A=
Di_
e
6.A与B相似，则|A|（=）（叮）
（a>
0）
是正交阵，则b=0。
|B|。
二、计算题
a4
1+a4
1+ata2a3
a11+a2a3
a’a21+a3
a1a2a3
a；
a；
a2
a3
4=1+0=1.
2.设A=
X
，求矩阵
使AB=A-B
（10分）
设B=
/
la3
b3
c1\
c2
c3丿
VAB=A-B,/
3b1
4b2
2b3
5c1
7c2
G_a1
3—a；
J-a3
3—A
4_b2
2_b3
5_5
7_C2
2—C3丿
解得B=
3-44-52-3
3.
（15分）
7!
求可逆矩阵T使T-1AT为对角形
=0,再=1,為=3,Xj=（1,-1j,X；
=（1,1y分别单位化，得几1—
T
仏=
2,2
•7
所以T=
2l!
a/2J2
「22丿
设a=（2
由E-A
4.
设二次型f（X1,X；
X3）=2X1；
+5x2+5x2+4XiX2-4XiX3-8X2X3，回答下列问题：
（1）将它化为典范
（2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？
（4）二次型是否
是正定二次型？
（12分）
（1）f（x,,X2，X3）=%2+y2-15y：
（2）r=4,（3）p=3;
s=2，⑷A=10>
1.试证：
设A是n阶矩阵，则|A*|=|A|Z
AA=
Ae取行列
AeTA
:
若A=0则A*=0此时命题也成立,
a"
nX
2.
试证：
+C
c+a
+C1
C1+a1
=；
b；
+C2
c；
+a2
+b2
a1a；
十C1
C；
aba1b1a；
b；
aba1bla；
b1b；
a
Q
（10分）
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