1、1,52,4.已知数域F上的向量a 1,5,5 线性无关,下列不正确的是( D )中必有一个向量是其余向量的线性组合。n(印,an)|a R,i =1; , n且2 a 0iT7.向量空间R3的如下变换中,为线性变换的是(二.填空题(3X10=30分)1.当且仅当I X1 + X2 + X3 = 0k= (-1或3)时,齐次线性方程组 3x1、-X2 +kX3 =0有非零解I 2少, + X2 + k X3 = 0ai2 .设 A= a2H0,B=(bi,b2,b3)H0,则秩(AB)%( 1)。丄丄丄、3.向量(X,y,Z)关于基(0,1/2, 0),(1/3, 0, 0),(0, 0,1/
2、4)的坐标为 V?,:丿4 .设向量空间F2的线性变换CT, T 为 CT(X1,X2)=(X1 +X2,X2),T(X1,X2)=(X1 X2,0),贝 U 1)&1, X? ) = ( 2X1,X2)。5.已知 V=为,2,%3,&) Ixj+2x2=0,则 dimV= (3)。解:x=解:(1) f(N,X2,X3)= y2 中 y;y: -5y2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1,A=60,是正定二次型。CT佗)=cr(泸)=Zcr(n 陆1n =卫(泸)=,令)! =aa则;U 任意 q, E2-V, a 齐,由叭匕1+)= +%)=&% +a2 (匕1)+巩匕2)b +cC
3、+aa +babC2。行列式6+05 +a1a1 +b1=2a1b1C1匕2 + C2C2 中 a?a bza2b2C2b(k )=akq =k(a上 1 )=kb( ),. cr是线性变换。c证:原式=+bi=blCi +Cici32 -二二二、 六1.n选择题:(3X5=15分)阶行列式D的元素aj的余子式M j与aj的代数余子式Aj的关系是(C )A j =M j B oAij=(-1) nM j Co Aj =(-1)iM j D。A. 当m C.当m=n时,只有零解D.当m=n时,只有非零解3.已知n维向量 1,5,g 线性无关,下列不正确的是( D)Aot1 , ot2线性无关 B
4、 . a2,ot3线性无关C. ot3,1线性无关 D. a 1,ot2,ot3中必有一个向量是其余向量的线性组合。4.若A是mxn矩阵,且r (A) =r,贝J A中(A.至少有一个r阶子式不等于0,但没有等于0的r-1阶子式;B.必有等于0的r-1阶子式,有不等于0的r阶子式;C.有等于0的r-1阶子式,没有等于0的r阶子式;D.三、计算题I2 2厂由 E-A =1,兀2 =3X1 =(1,-1T,X2 =(1,1分别单位化,得几1 =r运Q2 2_72 J23.设二次型 f(X1,X2,X3)=X12 +2x; +5x; +2X1X2 +2X1X3 +6X2X3,回答下列问题: (1)将
5、它化为典范型。二次型的正、负惯性指标及符号差为何?二次型是否是正定二次型?(12 分)(1) f(N,x2,X3)=%2 +y2+yI -y-5y5,(2)r=5 ,(3) p=3;s=1 ,(4)A=6 0,是正定二次型 。1-12求向量组的秩及其一个极大无关组。4.设向量组4,a 2 =,a 33、7(101分)引5 3丿,a 5r 10)是正交阵,则b=0。|B|。二、计算题a41 + a 41 + at a 2 a 3a1 1 +a2 a 3a a 2 1 +a3a 1 a 2 a 3a; a; a2a34 =1 + 0=1.2.设 A=X,求矩阵使 AB=A-B(10 分)设B=/l
6、a3b3c1 c2c3丿,V AB=A-B , /3b14b22b35c17c2G _ a13 a;J -a33A4_b22 _b35 _57 _C22C3 丿解得B=3-44-52-33.(15 分)7!求可逆矩阵T使T-1AT为对角形=0,再=1,為=3, Xj = (1,-1 j , X; = (1,1 y 分别单位化,得几 1 T仏=2 , 2 7所以T =2l !a/2 J22 2丿设 a = (2由 E -A4.设二次型 f(X1, X;, X3 ) = 2X1;+ 5x2 +5x2 +4XiX2 -4XiX3-8X2X3,回答下列问题:(1 )将它化为典范(2)二次型的秩为何? ( 3) 二次型的正、负惯性指标及符号差为何?( 4) 二次型是否是正定二次型? ( 12分)(1) f(x,X2,X3)=%2 +y2-15y: ,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2,A=101.试证:设A是n阶矩阵,则|A*|=|A|ZAA =Ae 取行列Ae TA:若A =0则A* =0此时命题也成立,anX2.试证:+ Cc + a+ C1C1 +a1=;b;+ C2c; +a2 +b2a1 a;十C1C;a b a1 b1 a; b;a b a1 bl a;b1 b; aQ,(10 分)
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