双曲线的简单几何性质练习题.docx

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双曲线的简单几何性质练习题

课时作业（十一）

一、选择题

1．等轴双曲线的一个焦点是F1（－6,0），则它的标准方程是（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

【解析】　设等轴双曲线方程为－＝1（a＞0），

∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为－＝1.

【答案】　B

2．（2014·高二考试）已知双曲线方程为x2－＝1，过P（1,0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l（　　）

A．4条B．3条C．2条D．1条

【解析】　因为双曲线方程为x2－＝1，所以P（1,0）是双曲线的右顶点，所以过P（1,0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P（1,0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.

【答案】　B

3．（2014·大纲全国卷）双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）

A．2B．2C．4D．4

【解析】　由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.

【答案】　C

4．（2014·高考）若实数k满足0

A．实半轴长相等B．虚半轴长相等

C．离心率相等D．焦距相等

【解析】　若00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.

【答案】　D

二、填空题

5．（2014·高二检测）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．

【解析】　∵c2＝m＋m2＋4，

∴e2＝＝＝5，

∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.

【答案】　2

6．（2013·高考）已知F为双曲线C：

－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

【解析】　由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F（－5,0），且A（5,0）恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－（|PA|＋|QA|）＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.

【答案】　44

7．（2014·）设直线x－3y＋m＝0（m≠0）与双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m,0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

【解析】　由得点A的坐标为

，

由得点B的坐标为，

则AB的中点C的坐标为，

∵kAB＝，

∴kCP＝＝－3，

即＝－3，化简得a2＝4b2，

即a2＝4（c2－a2），∴4c2＝5a2，

∴e2＝，∴e＝.

【答案】　

三、解答题

8．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．

【解】由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，

∵双曲线的一条渐近线为y＝x，

∴设双曲线方程为－＝1.

又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.

∴所求双曲线的方程为－＝1.

由a2＝24，c2＝48，

得e2＝＝2，

又e>0，∴e＝.

9．（2014·高二检测）已知双曲线－＝1的右焦点为（2,0）．

（1）求双曲线的方程；

（2）求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．

【解】　　

（1）∵双曲线的右焦点坐标为（2,0），且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，

∴双曲线的方程为－y2＝1.

（2）∵a＝，b＝1，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，

令x＝－2，则y＝±，

设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A、B，

则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形面积为S，

则S＝××2＝.

1．（2014·省实验中学高二检测）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与C：

x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于（　　）

A.B.C.D.

【解析】　圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝4，所以圆心坐标为C（3,0），半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4（a2＋b2），所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.

【答案】　A

2．（2014·市东城区）设F1，F2分别为双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．3x±4y＝0B．3x＋5y＝0

C．5x±4y＝0D．4x±3y＝0

【解析】　由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.

【答案】　D

3．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A、B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．

【解析】　双曲线的左焦点为F1（－2,0），

将直线AB方程y＝（x＋2）代入双曲线方程，

得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

∴x1＋x2＝，x1x2＝－，

∴|AB|＝·

＝×＝3.

【答案】　3

4．（2014·师大）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（，0）．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：

y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值围．

【解】　　

（1）设双曲线C的方程为－＝1（a>0，b>0），由已知得a＝，c＝2.

又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，

故双曲线C的方程为－y2＝1.

（2）将y＝kx＋代入－y2＝1中，

得（1－3k2）x2－6kx－9＝0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即k2≠且k2<1.①

设A（xA，yA），B（xB，yB），

则xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

而xAxB＋yAyB＝xAxB＋（kxA＋）（kxB＋）

＝（k2＋1）xAxB＋k（xA＋xB）＋2

＝（k2＋1）·＋＋2＝，

于是>2，解此不等式得

由①②得

故k的取值围是∪.