立方差公式Word文档格式.docx

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立方和公式及其推广：

（1）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

（2）an+bn=（a+b）[a（n-1）-a（n-2）×

b+...+（-1）^（r-1）×

a^（n-r）×

b^（r-1）+...+b^（n-1）]（n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数）（后面括号中各项式的幂之和都为n-1）。

an表示a的n次方。

字母表达

立方和公式

三项立方和公式

推导过程：

完全立方公式

（a-b）³

=a³

+3ab²

-3a²

b-b³

立方和累加

正整数范围中

注：

可用数学归纳法证明

2公式证明编辑

迭代法一

我们知道：

0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

2次方和的求和公式

——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式

，迭代即得。

具体如下：

（k+1）3 

-k3 

=（k3 

+3k2 

+3k+1）-k3 

=3k2 

+3k+1

利用上面这个式子有：

23 

-13 

=3×

12 

+3×

1+1

33 

-23 

22 

2+1

43 

-33 

32 

3 

+1

53 

-43 

42 

4+1

……

（n+1）3 

-n3 

n2 

+3n+1

把上述各等式左右分别相加得到：

（n+1）3-13 

（12+22+32+……+n2）+3×

（1+2+3+……+n）+n×

1

n3 

+3n2 

+3n+1-1=3×

（12+22+32+……+n2）+3×

n（n+1）/2+n

（1）

其中12 

+22 

+32 

+……+n2 

=n（n+1）（2n+1）/6

代入

（1）式，整理後得13 

+23 

+33 

+……+n3=[n（n+1）/2]2

迭代法二

取公式：

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

…………⑴

…………⑵

…………⑶

…………

…………（n）.

于是⑴+⑵+⑶+…+（n）有

左边=

右边=

把以上这已经证得的三个公式代入，

得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

排列组合法

设数列{

}=n（n+1）（n+2），其n项和为

，且设

=

+

+…+

，则

=1×

（1+1）×

（1+2）+2×

（2+1）×

（2+2）+…+n（n+1）（n+2）

+3

+2

+3×

+2×

+n（n+1）

又

（

）

=…

=6

∴

由此得

。

[1-2]

因式分解证明

3几何验证编辑

图象化立方和公式

透过绘立体的图像，也可验证立方和。

根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到

，可使用

的空白位置。

该空白位置可分割为3个部分：

·

把三个部分加在一起，便得：

之后，把

减去它，便得：

公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

可透过完全平方公式，得到：

这样便可证明：