小学六年级数学第13讲分数裂项与分拆教师版docxWord文件下载.docx
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2k_11
〃（n+k）（〃+2k）n（n+k）（〃+k）（〃+2k）
3k11
/?
（〃+R）（H+2E）（A2+3k）n（n+k）（/?
+2R）（n+k）（n+2k）（n+3k）
h_h
・]]・
M（〃+R）（M+2k）2k
n（〃+k）（n+£
）（〃+2k）
h__h\11
）（〃+2k）（几+3E）3k〃（〃+£
）（”+2町（"
+£
）（"
+2約（〃+3約
（对—=i+”q
（2/2-l）（2n+l）2vIn-12n+l丿
2.裂差型裂项的三大关键特征:
1分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数）的，但是只要将X提取出來即可转化为分子都是1的运算。
2分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
3分母上几个因数I'
可的差是一个定值。
3•复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点:
从公差一定的数列屮依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：
先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前仲展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：
等差数列数，依次取儿个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：
按照公差向前伸展吋，当伸展数小于0吋，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结杲。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
4.“裂和〃型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
①些=旦+上丄丄②丄+丄聖+2axbaxbcixbbaaxbaxbaxbba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是〃两两抵消达到简化的n的〃，裂和型运算的题目不仅有〃两两抵消〃
型的，同时还有转化为〃分数凑整〃型的，以达到简化忖的。
教学重•难点
1.复杂整数裂项的特点及灵活运用
2.分子隐蔽的裂和型运算。
趣味引入
1
特色讲舞
例1:
11•1
Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10
f111111
（1x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9x10
119
【解析】原式十
例2：
计算:
—_x
3<
1x2x38x9x10；
5719
1
1x2x32x3x48x9x10
2160
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2・相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列（该数列的第〃个数恰好为刃的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.
…3+23+43+16
（111
11—
（1x2x32x3x48x9x10
=3x
+2x
128）
1•
1x2x32x3x48x9x10丿
_3xlx
211x22x32x33x4
3（11）
=—x
2（1x29x10丿
11
—+
8x99x10丿
+2x+
（2334910丿
iii）
1+
（2x33x49x10
3
1、
<
_7
_23
X
2
一90丿
~10>
_4
_60
_5
_石
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃+3,所以
2/1+3
nx（n+l）x（n+2）（n+l）x（n+2）nx（n+l）x（n+2）
23
再将每
与一:
—————-分別加在一起进行裂项.后而的过程与前而的方法札I
（w+l）x（n+2）nx（n+l）x（n+2）
22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO
1?
34
【解析】原式=—I111H
22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO
2-13-14-110-1
11+…+
22x32x3x42x3x4…xlO
222x32x32x3x42x3x4・・・x92x3x4…x9xl（）
=11二竺空
2x3x4…x9xl03628800
例4：
一+++
11+21+2+3
1+2+…+100
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，対分母进行等差数列求和运算公
200.99
原式=11FH=2x
（1）=———=1
1x22x33x4100x101101101101
曲「111111
32-152-172-192-1112-1132-1
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：
E"
=（a_b）x（a+b）,原式=（丄）+（丄）+（A）+（入）++（77^77）
2x44x66x88x1010x1212x14
_111111111111.1
244668810101212142
/I1、13
=（）x—=——
214214
]11
A
333
1.1FH
Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20
【解析】原式=3x[丄x（—!
1—+—1!
—+...+——!
!
——）1
31x2x32x3x42x3x43x4x517x18x1918x19x20
113x19x20-11139
一1x2x318xl9x20_18x19x20~6840
所以原⑹.
+++…+
（2x3x43x4x54x5x611x12x13丿
/
+++■■■+
11x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14
=—x
1111177+111
ZZ—+ZZ——ZZ
122x12x132411x12x13x14811x12x13x1482x11x14
_j____75
飞一亦一旋
1.
2345（）
h+…+
1x（1+2）（1+2）x（1+2+3）（1+2+3）x（1+2+3+4）（1+2+3+…+49）x（!
+2+3+--・+50）
原式=1
1+2+…十100（15049
5050-5050
1x（1+2）（1+2）x（1+2+3）（1+2+3+…・+9）x（l+2+3+・・・+10）
234in
［解析］原式=］—（1111）
1x33x66x1045x55
I3366104555J
（1、
=1-1——
I55丿
7.计算:
5715
+++■••+12x2222x3232x4272x82
r.2.,1厂*22-1232-2242-3282-72
12x2222x3232x4272x82
1111111
2-2-3-3-4-7-8~
=1-4=—
8264
心十32+152+172+119932+119952+1
32-152-172-119932-!
19952-!
2、
2）
-2>
1+“
+1+°
+
1+9
+…+
132-b
I52-1丿
7—1丿
\
【解析】原式二
+U+19952-1
=997+
22
H+
2x44x61994x1996
11111——+•••+—2446
I22232
=997也■
1996
19941996丿
x502
9・计算:
11—•
1x33x55x799x101
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起來关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22-1,42-1,62—1,……，1002—1,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.
4（22-142-162-1
1,1,1,1）
h1+—;
H1H—…+1
22-142-162-11002-1）
r2242621002）
—…+歸N
1仃
=-x1+
4I
=丄x50+
4
121996丿
11I
H1
=—x50—x111・・・
1丄］
99101>
=-x50+丄xh—
、101>
2x24x46x6
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