小学六年级数学第13讲分数裂项与分拆教师版docxWord文件下载.docx

1、2k _ 1 1（n + k）（ + 2k） n（n + k） （ + k）（ + 2k） 3k 1 1/?（ + R）（H + 2E）（A2 + 3k） n（n + k）（/? + 2R） （n + k）（n + 2k）（n + 3k）h _ h M（ + R）（M+2k） 2kn（ + k） （n+ ）（ +2k）h _h 1 1）（+2k）（几+ 3E） 3k （ + ）（”+ 2町 （+ ）（ + 2約（ + 3約（对=i+” q（2/2-l）（2n + l） 2 v In -1 2n + l 丿2.裂差型裂项的三大关键特征:1分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x

2、为任意自然数）的， 但是只要将X提取出來即可转化为分子都是1的运算。2分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”3分母上几个因数I可的差是一个定值。3 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点:从公差一定的数列屮依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。 其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前仲展一个 数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。整数裂项口诀：等差数列数，依次取儿个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差 数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展吋，当伸展数小于0吋，可以取

3、负数，当然是积为负 数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果 再加上第一项的结杲。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。4. “裂和型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：些=旦+上丄丄丄+丄聖+2 axb axb cixb b a axb axb axb b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是两两抵消达到简化的n的，裂和型运算的题目不仅有两两抵消型的，同时还有转化为分数凑整型的，以达到简化忖的。教学重难点1.复杂整数裂项的特点及灵活运用2.分子隐蔽的裂和型运算。趣味引入1特色讲舞例1: 1 1 1 Ix2x3

4、x4 2x3x4x5 3x4x5x6 6x7x8x9 7x8x9x10f 1 1 1 1 1 1（1x2x3 2x3x4 2x3x4 3x4x5 7x8x9 8x9x10119【解析】原式十例2：计算:_ x3 1x2x3 8x9x10；5 7 19 1 1x2x3 2x3x4 8x9x102160【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不 相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比较于2, 4, 6,这一公差为2的等差 数列（该数列的第个数恰好为刃的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以 可以先把原式中每一项的分子都分成3与

5、另一个的和再进行计算.3 + 2 3 + 4 3 + 16（1 1 1 1 1 （1x2x3 2x3x4 8x9x10=3x+ 2x1 2 8 ） 1 1x2x3 2x3x4 8x9x10 丿_3xlx2 11x2 2x3 2x3 3x43 （ 1 1 ）=x 2 （1x2 9x10丿1 1+ 8x9 9x10丿+ 2x + （2 3 3 4 9 10丿i i i ） 1 + （2x3 3x4 9x1031、_4_60_5_石也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2 + 3,所以2/1 + 3nx（n + l）x（n + 2） （n+ l）x（n + 2） nx（n

6、+ l）x（n + 2）2 3 再将每与一:-分別加在一起进行裂项.后而的过程与前而的方法札I（w + l）x（n + 2） nx（n + l）x（n + 2）2 2x3 2x3x4 2x3x4x5 2x3x4xlO1 ? 3 4【解析】 原式 =I 1 1 1 H2 2x3 2x3x4 2x3x4x5 2x3x4 xlO2-1 3-1 4-1 10-1 1 1 + + 2 2x3 2x3x4 2x3x4 xlO2 2 2x3 2x3 2x3x4 2x3x4x9 2x3x4 x9xl（）=1 1 二竺空2x3x4 x9xl0 3628800例 4： 一 + + +1 1+2 1+2+31 +

7、2 + 100【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简 单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，対分母进行等差数列求和运算公200 . 99原式= 1 1 F H = 2x（1 ）=1 1x2 2x3 3x4 100x101 101 101 101曲 1 1 1 1 1 132 -1 52 -1 72 -1 92 -1 1 12 -1 132 -1 【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：E =（a_b）x（a + b）, 原式=（丄）+ （丄）+（ A）+ （入）+（7777）2x4 4x6 6x8 8x10 10x12 12x1

8、4_1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 124 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2/I 1、1 3=（ ）x =2 14 2 14 1 1A33 31. 1 F H Ix2x3x4 2x3x4x5 17x18x19x20【解析】原式=3x丄x（! 1+1 !+.+! !）13 1x2x3 2x3x4 2x3x4 3x4x5 17x18x19 18x19x2011 3x19x20-1 1139一 1x2x3 18xl9x20_ 18x19x20 6840所以原.+ + + +（2x3x4 3x4x5 4x5x6 11x12x13丿/+ + + +11x2x3x4x

9、5 2x3x4x5x6 3x4x5x6x7 10x11x12x13x14=x11 1 1 1 77 + 1 1 1ZZ + ZZ ZZ 12 2x12x13 24 11x12x13x14 8 11x12x13x14 8 2x11x14_ j_ _ 75飞一亦一旋1.23 4 5（） h + + 1x（1+ 2） （1+ 2）x（1+ 2 + 3） （1 + 2 +3）x（1+ 2 + 3 + 4） （1 + 2 + 3 + + 49）x（!+ 2 + 3 + - + 50）原式=1 1+ 2 + 十 100 （ 1 50495050 - 50501x（1+ 2） （1+ 2）x（1+ 2 +

10、3） （1 + 2 +3 + + 9）x（l + 2 + 3 + + 10）23 4 in解析 原式=（ 1 1 1 1 ）1x3 3x6 6x10 45x55I 3 3 6 6 10 45 55 J（1、=1- 1 I 55丿7.计算:5 7 15 + + + + 12 x22 22 x32 32 x42 72 x82r.2 .,1 厂* 22 -12 32 -22 42 -32 82 -7212 x22 22 x32 32 x42 72 x82,11111 1 12- 2- 3- 3- 4- 7- 8=1-4 =82 64心十 32 +1 52 +1 72 +1 19932 +1 1995

11、2 +132 -1 52 -1 72 -1 19932 -! 19952 -! 2、 2 ）-2 1 + “+ 1 + +1 + 9+1 32-bI 52-1丿 71丿【解析】原式二+ U + 19952 -1= 997 +2 2 H +2x4 4x6 1994x19961111 1 + + 2 4 4 6I2 22 32= 997 也19961994 1996丿x 5029计算: 1 1 1x3 3x5 5x7 99x101【解析】式子中每一项的分子与分母初看起來关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变 为22 -1 , 42 -1 , 62 1,，10021,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子 的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.4（22-1 42 -1 62 -11,1,1 , 1 ） h 1 + ; H 1 H + 1 22 -1 42 -1 62 -1 1002 -1）r 22 42 62 1002 ）+歸N1仃=-x 1 +4 I=丄 x 50 +412 1996丿1 1 IH 1 =x 50 x 1 1 1 1 丄99 101=-x 50 + 丄xh 、1012x2 4x4 6x6