北京市各区县中考数学二模试题分类汇编四边形.docx

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北京市各区县中考数学二模试题分类汇编四边形

四边形

一、一般四边形:

1、（平谷二模）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，

∠C=60°，AB=5，AD=3．

（1）求证：

AD=DC；

（2）求四边形ABCD的周长．

（平谷二模答案）

（1）解：

在BC上取一点E，使BE=AB，连结DE.----------------------------------------------1分

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．

在△ABD和△EBD中

∴△ABD≌△EBD----------------------------------------------------------------------------------2分

∴DE=AD，∠BED=∠A.

∵∠A=120°∴∠DEC=60°.

∵∠C=60°∴∠DEC=∠C.

∴DE=DC，

∴AD=DC.----------------------------------------------------------------------------------------3分

（2）∵∠C=60°,DE=DC，

∴△DEC为等边三角形.-------------------------------------------------------------------------4分

∴EC=CD=AD.∵AD=3，∴EC=CD=3

∵AB=5，∴BE=AB=5.

∴四边形ABCD的周长为19.---------------------------------------------------------------------5分

2、（丰台二模）如图，在四边形

中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长.

（丰台二模答案）

解：

∵CA是∠BCD的平分线

∴∠1=∠2……………………………………………1分

∵AD∥BC

∴∠2=∠3

从而∠1=∠3

∵AD=6

∴CD=AD=6…………………………………………2分

作DE⊥AC于E

可知AE=CE

∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC

∴△ABC∽△EDC…………………………………3分

∴

∵AE=CE，CD=6

∴BC=12………………………………………………………4分

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=8

……5分

3、（燕山毕业考试）如图，在四边形

中，

，

，

，连接

，

的平分线交

于点

，且

．

（1）求

的长；

（2）若

，求四边形

的周长．

（燕山毕业考试答案）

（1）延长

交

于点

.

∵

平分

，∴

.

∵

，

∴

，

∴

，………1分

∴

.

∵

，

∴

.……………2分

∵

，

∴四边形

是平行四边形，∴

.………3分

（2）过

作

的垂线

，垂足为

.

∵

，

，

在

中，

，

∴

.………………4分

∴四边形

的周长

4、（朝阳二模）如图，在四边形ABCD中，AB=

，∠DAB=90°，∠B=60°，AC⊥BC．

（1）求AC的长．

（2）若AD=2，求CD的长．

（朝阳二模答案）

（1）在Rt△ABC中，

∵AB=

，∠B=60°，

∴AC=AB·sin60°=6．…………………………2分

（2）作DE⊥AC于点E，

∵∠DAB=90°，∠BAC=30°，

∴∠DAE=60°，

∵AD=2，

∴DE=

．…………………………3分

AE=1．

∵AC=6，

∴CE=5.……………………………4分

∴在Rt△DEC中，

．

∴

．………………………5分

二、矩形（正方形）：

1、（门头沟二模）已知：

如图，四边形

是正方形．

是

上的一点，

于

，

于点

．

（1）求证：

△

≌△

；

（2）求证：

．

三、平行四边形和菱形：

1、（顺义二模）如图，在

中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．

（1）求证：

四边形BCFE是菱形；

（2）若

，

，求菱形

的面积．

（顺义二模答案）

（1）证明：

∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC，BC=2DE．…………………………………………………1分

∵CF∥BE，

∴四边形

是平行四边形．………………………………………2分

∵BE=2DE，BC=2DE，

∴BE=BC．

∴□BCFE是菱形．……………………………………………………3分

（2）解：

连结BF，交CE于点O．

∵四边形BCFE是菱形，

，

∴

，

．

∴△BCE是等边三角形．………………………4分

∴

．

∴

．

∴

．………………………5分

2、（昌平二模）如图，已知□ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF.

（1）求证：

四边形AECF是平行四边形；

（2）当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE∶AB的值.

（昌平二模答案）

（1）证明：

连接对角线AC交对角线BD于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC,OB=OD.……………………………2分

∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF,

∴

即OE=OF.……………………………3分

∴四边形AECF是平行四边形.…………………………4分

（2）

…………………………………………………………………5分

3、（通州毕业考试）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB.

（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：

四边形ABCD是菱形.

（2）若AB＝10，BE＝2EC，求EF的长.

（通州毕业考试答案）

证明

（1）：

∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC

∴∠ADB=∠DBC

∵AE=AB

∴∠ABE=∠AEB

∵∠AEB=2∠ADB

∴∠ABE=2∠DBC

∵∠ABE=∠ABD+∠DBC

∴∠ABD=∠ADB

∴AD=AB

∴四边形ABCD是菱形…………………（2分）

解

（2）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC

∴△AFD∽△EFB

∴

∵AD=BC，BE=2EC

∴

∵AE=AB=10

∴

∴

………………………………..（5分）

4、（海淀二模）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接CF.

（1）求证：

四边形ABDF是平行四边形；

（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=

，求△CAF的面积.

（海淀二模答案）

（1）证明：

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE∥AB.……………………………………………………………………1分

∵AF∥BC,

∴四边形ABDF是平行四边形.………………………………………………2分

（2）解：

过点F作FG⊥AC于G点.

∵BC=4，点D是边BC的中点，

∴BD=2.

由

（1）可知四边形ABDF是平行四边形，

∴AF=BD=2.

∵∠CAF=45°，

∴AG=GF=

.…………………………………………………………3分

在Rt△FGC中，∠FGC=90°,GF=

，CF=

，

∴GC=

.…………………………………………4分

∴AC=AG+GC=

.

……………………………5分

5、（石景山二模）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：

四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

（石景山二模答案）

（1）证明：

在Rt△OAB中，D为OB的中点

∴DO=DA

∴∠DAO=∠DOA=30°,∠EOA=90°

∴∠AEO=60°

又∵△OBC为等边三角形

∴∠BCO=∠AEO=60°

∴BC∥AE……………….…………………………………………….1分

∵∠BAO=∠COA=90°

∴OC∥AB

∴四边形ABCE是平行四边形．……….…………………………………2分

（2）解：

在Rt△ABO中

∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2

∴OA=AB·tan60°=2×

=

.………………………………………..3分

在Rt△OAG中，

，设OG=

，

由折叠可知：

AG=GC=

，可得

…………………4分

解得，

∴OG=

……………………………………………….………………..5分

6、（门头沟二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.

（1）求证：

四边形AEFD是平行四边形；

（2）若∠A=60°，AB=6，AD=4，求BD的长.

（门头沟二模答案）

（1）证明：

如图

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD且AB=CD.﹍﹍﹍﹍1分

∵点E，F分别是AB，CD的中点，

∴

.

∴AE=DF.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

∴四边形AEFD是平行四边形.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

（2）解：

过点D作DG⊥AB于点G.

在Rt△AGD中，∵

AD=4，

∴

∴

.

在Rt△DGB中，

∴

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

7、（大兴二模）已知：

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点.

（1）求证：

四边形AEFD是平行四边形；

（2）若∠A=60°，AB=8，AD=4，求BD的长.

（大兴二模答案）

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD且AB=CD.﹍﹍﹍﹍1分

∵点E，F分别是AB，CD的中点，

∴

.

∴AE=DF.……………………………………2分

∴四边形AEFD是平行四边形.……………………………………3分

（2）解：

过点D作DG⊥AB于点G.

在Rt△AGD中，

∵

AD=4，

∴AG=ADcos60°=2，

DG=ADsin60°=2

∵AB=8，

.

在Rt△DGB中，

∴

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

8、（怀柔二模）.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，

∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

（怀柔二模答案）

证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC.

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形.2分

（2）连接BE.

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，

∴EB=EF，∠EBF=60°.

∵DC=EF，∴EB=DC.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC