《一元二次方程》复习经典讲义绝对经典实用.docx

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《一元二次方程》复习经典讲义绝对经典实用

《一元二次方程》复习经典讲义

基础知识

1、一元二次方程

方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这

样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：

寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，ab分别是二次项和一次项的系数。

如|满足一般形式「丁：

、1，工宀L分

别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。

注：

如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2.—元二次方程求根方法

（1）直接开平方法

形如•的方程都可以用开平方的方法写成'，求出它的

解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法

通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。

配方：

组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：

当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法

求根公式：

方程小*X「的求根公式

步骤:

1）把方程整理为一般形式：

：

匚『“甩.m」：

，确定ab、c。

2）计算式子卜In的值。

3）当八心心-时，把a、b和卜Lli的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法

把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一兀二次方程根的判别式的定义

也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n叫做一元二次方程根的判别式.

4、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.

设一元二次方程为'7'11■「，其根的判别式为：

则

hbph'■4tjcr

11■-'=■方程门厂山应二：

：

緘町有两个不相等的实数根■

b

rV——丫——…__

2方程'f'有两个相等的实数根•一.

3.匸方程农用沁没有实数根.

若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；

若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.

说明:

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：

上述判定方法也可以反过来使用，当方程有

两个不相等的实数根时，：

；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定

方程的根的情况（有两个

不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:

时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.

1当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；

2当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.

5、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.

6韦达定理

b

如果能畋;:

;的两根是；:

贝U"-丿.（隐含的

条件：

•「「）

特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'

的两个根，贝U'-

7、韦达定理的逆定理

以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

F-（xt^x2）x^xlx2-0

一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是

加亠脉V.U=比爭為的两个根.

8、韦达定理与根的符号关系

在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:

-<0丄邸

⑴当・时，方程的两根必一正一负•若-，则此方程的正根不小于负

-*<0

根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.

->0-->o

⑵当J时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正

--<0

根；若「，则此方程的两根均为负根.

更一般的结论是：

若，'■是煜。

沁宀汨怜的两根（其中—），且沢为实数，当时,般地：

1必一闸区-熄｝<■QC斗A脚E<握

2I且i（；TE.

3^r-I且I囱E■r•：

"「.，；■■■

特殊地：

当时，上述就转化为“『「有两异根、两正根、两负根的条件.

其他有用结论：

⑴若有理系数一元二次方程有一根■（「'，则必有一根一「（卫，‘」为有理数）.

⑵若沁"，贝昉程心必有实数根.

⑶若…方程肿Ym如心不一定有实数根.

⑷若a-^b^c-0，贝贝曲+肚+"哄"0）必有一根龙=1.

⑸若u—H，贝y+必有一根*=-1.

9、韦达定理的应用

⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；

⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；

⑶已知方程的两根，求作方程；

⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：

当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△•一些

考试中，往往利用这一点设置陷阱

10、整数根问题

对于一元二次方程••的实根情况，可以用判别式'■,J

来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程'•■「一“有整数根，那么必然同时满足以下条

件：

⑴占f（徑■为完全平方数；

⑵:

「或一!

■…，,其中为整数.

以上两个条件必须同时满足，缺一不可.

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中卫、

七已均为有理数）

11、一元二次方程的应用

1•求代数式的值；

2.可化为一元二次方程的分式方程。

步骤：

1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。

2）解一元二次方程。

3）检验

3•列方程解应用题

步骤：

审、设、列、解、验、答

经典讲评

板块一一元二次方穆的定文

•夯实基础

例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）''■■

（2）肯》-】—-'■<-1；

（3）:

…垃加论.址

（4）

（5）；芒「<，I「

例2已知关于t的方程—―亠是一元二次方程，求二的取值范围.

例3若一元二次方程片：

财：

匚”S曲—的常数项为零，则叭的值为:

•能力提升

例4关于x的方程咕卩-⑵1是什么方程？

它的各项系数分别是什么？

例5已知方程凑—y是关于”的一元二次方程，求「、“的值.

例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）

A.m^1Bm>OCm>0且m^1Dm为任何实数

•培优训练

例7典为何值时，关于；的方程'''*'''是一元二次方程.

例8已知方程：

亦皿7八「区7是关于，的一元二次方程，求一:

、的值.

例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为

解：

’••该方程为一元二次方程，

••m2-7=2，

解得m=±3；

当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0,不符合题意；

所以m=3.

例10（2000?

兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+仁0是一元二次方程的条件是（）

A.m^-1B.m^2Cm^-1或m^2Dm^-1且m^2

•课后练习

1、典为何值时，关于工的方程除:

—汽兔S翁如尬:

是一元二次方程.

2、已知关于工的方程1''•是一元二次方程，求「的取值范围.

3、已知关于的方程:

是一元二次方程，求瞋的取值范围.

4、若严gn是关于，的一元二次方程，求的值.

5、若一元二次方程

⑷2疋4如“5”"「1"的常数项为零，则抑的值为

板块二一元二次方程的解与解法

•夯实基础

例1、（2012?

鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，贝U6a2-3a的值为（）

A.3B.-3C.9D.-9

解：

若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有

2a2-a-3=0，

变形得，2a2-a=3，

故6a2-3a=3X3=9故选C.

例2（2011?

哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个

解•则m的值是（）

A.6B.5C.2D.-6

解：

把x=2代入方程得：

4-2m+8=0,解得m=6.

故选A

例3用直接开平方法解下列方程

（1）匕―

（2）〔厂卜济一耳川（3）1.：

-

（4）（5）i'（6）x"

例4先配方，再开平方解下列方程

（1）I，一-

（2）•：

〕：

：

】一‘」（3）冷

}1I.

X4X—V»j!

*JZ〒

（4）>（5）」*--'V（6）1'1

例5用公式法解下列方程

（1）J-」H

（2）二［（3）;'---八

⑷：

’、（5）：

'

例6用因式分解法解下列方程

（门密飞―色：

工

（2）一上丨I'（3）“上2—1

⑷：

7一.U；-打丁一识•】’（5）、•「L-.-1.’⑹I；'：

j佥-L冷亠ij=:

--

•能力提升

例7（2011?

乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-仁0的一个根是0，则实数a的值为（A）

A.-1B.0C.1D.-1或1

例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-仁0的一个根是0，则a值为

C）

A.1B.0C.-1D.±1

例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（a^C有相同的根a,贝U

需逐」16：

丁方程孟“3«+1=0与盂珂口十（1=€（a^c）有相同的很4

同时籀足方程盟却曲料二时卡知e廿扛D（直丹八

f□_

a+aa+b=o・CD

・J

^a^+ca+d=O，②

由針②，得

Ca~?

）（1+11-1=0t即（i-c）d二

Va^cs

/-snc去Oh

d-b

-■u—■

3l=G

播普秦気：

穿.

（D

例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8B+6的值为

）

A.-1B.2C.22D.30

解普；方蚤5小刃解是J士捫，即心国

隍方程的两个实数根，

二①当圧1十岳！

岸时9

J杞附弘

=（h<5）3+e（1-45）+乩

=16+515+8-84^+6^

=30S

②当Ml—岸1+码时，

庄呢嚴"

-（i-<5）2+e（1*馮）+e

=30.

故迦.

例11关于x的一元二次方程（m-2）xmA-2+2mx-仁0的根是

工严旷-*

網答二解：

根振一元二衆方程的定咒，甬—

[n^—1-0

ln-2^0

贝Ijfi方程TUJ旷1丸，

即（2^+1）5

1説丄叫”㊁”

故答案対：

xi