《一元二次方程》复习经典讲义绝对经典实用.docx

1、一元二次方程复习经典讲义绝对经典实用一元二次方程复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 脳冰4；：寫占门的一般形式，我们把这样的方程 叫一元二次方程。其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常 数项，a b分别是二次项和一次项的系数。如|满足一般形式 丁： 、 1 ，工宀 L分别是二次项、一次项和常数项，2, 4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母 的取值范围。2.元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如 的方程都可以用开平方的方法写成 ，求出它的

2、解，这种解法称为直接开平方法。(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求 解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平 方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为 1。(3)公式法求根公式：方程 小 * X 的求根公式步骤:1） 把方程整理为一般形式：匚“甩.m：，确定a b、c。2） 计算式子卜In的值。3） 当八心心-时，把a、b和卜 Lli的值代入求根公式计算，就可以求 出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二 次三项式

3、，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转 化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一兀二次方程根的判别式的定义也就是说，一元二次方程 卅r吐m沁珥只有当系数耳、满足条件 託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、耳、确 定，它的根的情况（是否有实数根）由二 ，确定.设一元二次方程为 7 11 ，其根的判别式为：则hbph 4tjcr11 - =方程门厂山应二：緘町有两个不相等的实数根 br V 丫 _ _2方程 f 有两个相等的实数根 一.3.匸方程农用沁没有实数根

4、.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时 血 是的整数倍，则方程的根为整数根.说明:用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反 过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根 时， 1在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式 氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当 亠忙仝:时，方 程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.1当时二抛物线开口向上 二顶点为其最低点；2当时=抛物线开口向下 二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别

5、式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问 题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U -丿.（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1时，设，是方程 的两个根，贝U -7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为 1 ）是F -（xt x2）xxlx2 - 0一般地，如果有两个数，满足 ， ，那么，必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.

6、8、韦达定理与根的符号关系在已护 仏心1J的条件下，我们有如下结论:-0 丄邸当 时，方程的两根必一正一负若- ，则此方程的正根不小于负-*0 - o当J 时，方程的两根同正或同负.若，则此方程的两根均为正-0根；若，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，是煜。沁宀汨怜的两根（其中 ），且沢为实数，当时, 般地：1必一闸区-熄 Q C斗A脚 E 握2I 且 i（；T E .3 r- I 且 I囱 E r ：.，； 特殊地：当时，上述就转化为“ 有两异根、两正根、两 负根的条件.其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根（，则必有一根一 （卫，为有理 数）.若沁，贝昉程心必有实数根.若方程

7、肿Ym 如心不一定有实数根.若a-bc-0，贝贝曲+肚+ 哄0）必有一根龙=1 .若 u H，贝y + 必有一根 * = -1 .9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把 某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、 整数根问题对于一元二次方程 的实根情况，可以用判别式 ,J来判别，但是对于一

8、个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理 根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一 些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程 一“有整数根，那么必然同时满足以下条件：占f （徑为完全平方数； : 或 一 ! ， ,其中为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根 （其中卫、七已均为有理数）11、 一元二次方程的应用1 求代数式的值；2.可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1） 去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2） 解一元二次方程。3） 检验3列方程解应用题步骤：审、

9、设、列、解、验、答经典讲评板块一 一元二次方穆的定文夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数， 一次项系数和常数项。（1） （2） 肯-】- - 1；（3） :垃加论.址（4）（5） ；芒 OC m0且m 1D m为任何实数培优训练例7典为何值时，关于；的方程 * 是一元二次方程.例8已知方程：亦皿7八区7是关于，的一元二次方程，求一:、的值.例9关于x的方程（m+3） xm2-7+ （m-3） x+2=0是一元二次方程，则 m的 值为解：该方程为一元二次方程，m2-7=2，解得m=3 ；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0,不符合题意；所以m=3 .

10、例10 （2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2 ） x2+mx+仁0是一元二次方程的 条件是（ ）A. m-1B. m 2C m-1 或 m 2D m-1 且 m2课后练习1、 典为何值时，关于工的方程除:汽兔S翁如尬:是一元二次方程.2、 已知关于工的方程1 是一元二次方程，求的取值范围.3、 已知关于的方程:是一元二次方程，求瞋的取值范围.4、 若 严gn是关于，的一元二次方程，求的值.5、 若一元二次方程2疋4如“5”1的常数项为零，则抑的值为 板块二一元二次方程的解与解法夯实基础例1、（ 2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，贝U 6a2-3a的值为 （ ）A

11、. 3B. -3C . 9D . -9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故 6a2-3a=3X 3=9 故选 C .例2 (2011?哈尔滨)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m的值是( )A. 6B. 5C. 2D. -6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0 , 解得m=6 .故选A例3用直接开平方法解下列方程(1)匕(2)厂卜济一耳川(3) 1 .：-(4)(5) i (6) x 例4先配方，再开平方解下列方程(1)I，一 - (2)：】一(3)冷 1 I .X 4 X V j ! * JZ (4) (5)

12、 * - - V (6) 1 1例5用公式法解下列方程(1)J -H (2)二 (3);-八：、(5) ： 例6用因式分解法解下列方程(门 密飞色：工(2) 一 上丨I (3) “上 2 1：7 一.U；- 打丁一识】(5)、 L-.- 1. I；： j佥-L冷亠 ij =:-能力提升例7 (2011?乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+|a|-仁0的一个根 是0，则实数a的值为(A )A. -1B. 0C. 1D. -1 或 1例8关于x的一元二次方程（a-1） x2+ax+a2-仁0的一个根是0，则a值为C ）A. 1B. 0C. -1D. 1例9方程x2+ax+b=0与x

13、2+cx+d=0 （aC有相同的根a,贝U需逐16： 丁方程孟“3+1=0与盂珂口十（1= （ ac）有相同的很4同时籀足方程盟却曲料二时卡知e廿扛D （直丹八f _a +aa+b=o CDJa+ca+d=O，由針，得C a?） （1+11-1=0t 即（i-c） d二Vacs/- sn c 去 Oh,d-b- u 3l=G播普秦気：穿.(D例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8B +6的值为）A. -1B. 2C. 22D. 30解普；方蚤5小刃解是J士捫，即心国隍方程的两个实数根，二当圧1十岳！岸时9J杞附弘=（h5）3+e（1-45）+乩=16+515+8-84+6=30 S当Ml岸1 +码时，庄呢嚴-（i-5）2+e （1*馮）+e=30.故迦.例11关于x的一元二次方程（m-2） xmA-2+2mx-仁0的根是工严旷-*網答二解：根振一元二衆方程的定咒，甬n1- 0ln-20贝Ijfi方程TU J旷1丸，即（2+1） 51 説丄叫”故答案対：xi