最新电大数学分析专题研究导学知识点复习考点归纳总结参考.docx

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最新电大数学分析专题研究导学知识点复习考点归纳总结参考

XX（XX）*电大考试*

数学分析专题研究导学

一、课程基本介绍

“数学分析专题研究”是中央广播电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。

本课程4学分，72学时，第一学期开设。

“数学分析专题研究”针对中央广播电视大学数学与应用数学专业师范类的学生。

旨在数学分析的基础上，将已学过的数学分析知识（极限理论，微分学理论，积分学理论与级数理论）直接用到中学数学的研究。

使学生加深对微积分学的理解，从高等数学的观点出发，利用高等数学的工具，对初等数学进行深入的研究，并能够建立起初等数学的严格的科学体系，有利于学生更好地进行初等数学的教学。

内容涉及集合论的知识以及代数关系知识、数系扩充、基本函数讨论、极值问题并牵涉到泛函极值问题。

作为中央电大的统开课，本课程使用的教材为东北师范大学高夯编写的“高观点下的中学数学分析学”（高等教育出版社出版）。

该教材无疑需要完善。

学员可根据教学基本要求，学好所须基本知识，把握基本内容。

有关须到后续课程学习的内容可作提前了解。

相关的教学资料、大纲及学习要求指导可查阅中央电大开放教育网站（）和云南电大在线（http:

//www.→点击云南电大在线）。

在云南电大在线开设的本课程网页、本导学及所提供的作业解答将提供基本把握引导。

二、教学的学习要求及课程进程安排表

教学要求中，尤其复习巩固时，对有关定义、定理、性质、特征等概念的要求，分“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的要求，分“会、掌握、熟练掌握”三个层次。

4学分72学时课程表：

章号

内容

课内学时

IP学时

备注

1

集合与映射

8

2

数集

20

3

函数

12

4

对数函数与指数函数

8

5

三角函数

14

6

极值问题

10

合计

72

30

三、学习环节与考核

“数学分析专题研究”课程除上述教材外，还有随附上述教材的“数学分析专题研究学习指导”由中央电大的赵坚、顾静相编写，中央电大出版社出版。

若学员要广览博阅，则各大高校如复旦大学、吉林大学、南京大学、北京大学的数学分析教材皆可参阅。

本课程中央电大IP课程、在中央电大开放教育网站。

但一般计算机传收效果不行。

学员应充分利用各种教学资源勤学、自学，结合面授助学、自觉认真完成作业。

独立完成作业是学好本课程的重要手段。

本课程的理论推证较多，必须通过作业练习来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

平时作业的完成是计入课程的最终考核成绩的

每学期学生必须完成4次课程作业，作业内容由中央电大统一规定。

中央电大和省市电大将对规定的作业的完成情况进行检查。

任课教师必须认真批阅学生作业，并根据作业完成的情况对作业进行评分，给出平时作业成绩并计入学生期末总成绩。

作业评分标准

学生必须按规定时间交作业，态度认真，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。

每次作业成绩按百分制计算，具体评分标准如下：

①完成全部作业内容且正确率达到80%以上，得分80~100；

②未完成全部作业内容，但完成全部作业内容的60%以上正确率达到已做部分的80%以上，得分60~79；

③未完成全部作业内容，但完成部分占全部作业内容的60%以下，得分0~59；

④抄袭作业按0分计算；

⑤不按时交作业按0分计算。

平时作业最终成绩按平均值确定。

考试

本课程的期末考试全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间。

学生本课程的成绩由期末考试成绩和平时作业成绩两部分组成，其中期末考试成绩占80％，平时作业成绩占20％。

四、教学内容与要求

一、集合与映射（8学时）

（一）教学内容

本章内容作为中学数学的基础

1.集合的概念，包括集合，元素，包含，子集，相等。

集合的运算，包括并、交、补。

2.关系与映射

笛卡尔积，二元关系，运算。

映射，单射，满射，双射

3.等价关系，商集。

4.序关系，偏序集，有界，极大元，全序集，良序集。

5．基数，等势集，Bernstein定理。

重点：

集合，关系，映射，运算，等价关系，序关系。

难点：

商集、基数的概念。

（二）教学要求

1．理解集合的概念，熟练掌握有关的运算。

2.理解笛卡尔积，二元关系，运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关的例题。

3.理解等价关系及序关系，了解商集的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关的例题。

4.理解等势、基数等概念，知道Bernstein定理。

二、数集（20学时）

（一）教学内容

1.自然数集

有限集、自然数、加法、乘法

结合律、交换律，乘法对加法的分配律，阿基米德原理，最小数原理，数学归纳法。

2．整数集

从自然数集到整数集的扩充，整数的运算，算律，整数集的可列性。

3．有理数集

从整数集到有理数集的扩充，有理数的运算及算律，有理数的可列性与稠密性。

有理数的循环小数表示。

4．实数集

是无理数，实数的四则运算，算律，实数集的连续性。

5.复数集

复数的定义与运算，代数基本定理，复数集可排序；复数域不是有序域。

重点：

各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。

难点：

数集扩充的方法。

（二）教学要求

1.理解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。

2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。

3.理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。

4.了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。

5.知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。

了解无限集（可列集）的概念。

6.各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。

三、函数（12学时）

（一）教学内容

1.函数的概念与运算，四则运算，复合运算，反函数，函数方程。

2.函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分，微分的几何意义，近似计算（微分应用），微分学基本定理与应用。

3.函数及其性质

初等函数的概念，初等性质：

有界性，单调性，奇偶性，周期性。

超越数，化圆为方的问题，超越函数，基本初等函数的超越性。

重点：

函数概念与性质，函数的分析性质在初等函数中的应用。

难点：

解函数方程，函数的有界性，超越函数。

（二）教学要求

1.理解函数的基本概念，熟练掌握函数的运算（四则、复合），理解反函数的概念，掌握函数方程解法。

2.理解函数的分析性质（函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分），理解微分的几何意义，近似计算（微分应用），掌握微分学基本定理与应用并能运用这些性质研究初等函数。

3.理解基本初等函数的概念及初等性质。

4.理解超越数、超越函数的概念，了解化圆为方的问题，掌握基本初等函数的超越性。

四、对数函数与指数函数（8学时）

（一）教学内容

1.对数函数的公理化定义

对数函数的存在性，对数函数的唯一性。

2.对数函数的其他定义

对数函数的积分定义，对数函数的级数定义。

3.指数函数

指数函数的公理化定义，由特殊到一般的定义，指数函数的性质，指数函数的幂级数定义。

4.一些应用

复利的计算，生物种群的增长。

重点：

对数函数与指数函数的各种定义。

难点：

对数函数的存在性定理。

（二）教学要求

1.理解对数函数的各种定义，掌握对数函数的性质，能够运用分析的工具研究对数函数。

2.理解指数函数的各种定义，掌握指数函数的性质，能够运用分析的工具研究指数函数。

3.掌握指数函数的应用，并会运用对数函数与指数函数去建立某些实际问题的数学模型。

五、三角函数（14学时）

（一）教学内容

1.三角函数的公理化定义，三角函数的初等性质。

2.三角函数的分析性质，包括三角函数的连续性与可微性。

3.三角函数的几何解释与唯一性。

4.三角函数的公理体系，公理体系的等价性，余弦函数的公理化定义，余弦函数的性质，包括有界性，偶函数，周期性。

5.三角函数的三种具体定义，包括幂级数的定义，微分方程的定义，积分定义。

6.三角函数的应用。

重点：

三角函数的公理化定义，三角函数的分析性质，三角函数的公理体系，三角函数的具体定义。

难点：

三角函数的分析性质。

（二）教学要求

1.理解三角函数的公理化定义，了解三角函数的公理体系。

2.理解三角函数的初等性质,会用公理化定义证明三角函数的性质.

3.理解三角函数的分析性质，并能够利用分析的方法研究三角函数。

4.掌握三角函数的级数定义,会进行三角函数的计算.

5.通过本章的学习进一步巩固微积分学基本知识。

六、极值问题（10学时）

（一）教学内容

1.凸函数与极值，凸集，凸函数，基本初等函数的凸性，凸函数在有界凸多面体上的极值，应用举例。

2.一般函数的极值问题，一元可微函数的极值，二元可微函数的极值，条件极值，应用举例。

3.泛函极值问题（捷线问题，最短弧长问题，最小曲面问题，等周问题），欧拉方程的导出，解欧拉方程。

4.最优控制中的例子

重点：

解函数极值问题的一般方法，泛函极值问题的变分方法，凸函数的理论。

难点：

欧拉方程的导出，等周问题。

（二）教学要求

1.理解凸分析的基本概念与理论。

2.掌握一般函数求极值的分析理论与方法。

3.掌握欧拉方程的导出。

4.了解等周问题。

五、以往试题

2000级数学分析专题研究期末试题选登

一、填空题（每小题3分，共18分）

1.若，则.

2.若，则.

3.设，若，有,则称为从到上的.

4.含有的等式叫做函数方程.

5.设，则.

6.设函数定义在开区间内，对于，有，则称是内的函数.

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1.设，，有.

A.B.C.D.

2.自然数集，是（）

A.有限集B.可列集C.不可列集D.空集

3.设定义在上，是的极小值点，则（）

A.

B.有

C.当时，有

D.

4.设是二元函数，且使得，则函数是（）

A.有理函数B.无理函数C.代数函数D.超越函数

5.设是内的严格上凸函数，则（）

A.在内必取到最大值B.在内必取到最小值

C.在内有D.前三个结论都不对

6.在内连续可导，且，使得，则是（）

A.稳定点B.极值点C.拐点D.临界点

三、计算题（每小题6分，共24分）

1.设，求.

2.已知的曲线经过点，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的2倍，求.

3.已知，求.

4.已知，求.

四、证明题（每小题8分，共32分）

1.设定义在（4分）

3.若函数在闭区间上连续，且皆属于，则至少存在一点，使得

4.设证明

答案：

一、填空题（每小题3分，共18分）

1、；2、甲}，{乙}，{甲，乙}}；3、单射；4、未知函数；5、；6、上凸。

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1.D;2.B;3.C;4.C;5.D;6.A.

三、计算题（每小题8分，共32分）

1.解因为,故有

5分

所以有

8分

2.解

由方程可得，，由得，即8分

3.解已知，对两端关于求导，得

4分

由8分

4、解已知

（1）

令，即，得

（2）

（2）得

6分

即，8分

四、证明题（每小题8分，共32