版高考数学 专题2 指数函数对数函数和幂函数 251 几种函数增长快慢的比较学案 湘教Word文档格式.docx

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要点一　函数模型的增长差异

例1　

（1）当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（　　）

A．y＝10000x　　　　　　B．y＝log2x

C．y＝x1000D．y＝

x

（2）四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

1

5

10

15

20

25

30

y1

2

26

101

226

401

626

901

y2

32

1024

32768

1.05×

106

3.36×

107

1.07×

109

y3

40

50

60

y4

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907

关于x呈指数函数变化的变量是________．

答案　

（1）D　

（2）y2

解析　

（1）由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝

x增长速度最快．

（2）以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．

规律方法　在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若x＞x0，有logax＜xn＜ax.

跟踪演练1　如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（　　）

A．指数函数：

y＝2tB．对数函数：

y＝log2t

C．幂函数：

y＝t3D．二次函数：

y＝2t2

答案　A

解析　由题中图象可知，该函数模型为指数函数．

要点二　几种函数模型的比较

例2　某汽车制造商在2013年初公告：

随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

年份

2010

2011

2012

产量

8（万）

18（万）

30（万）

如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：

二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数函数模型g（x）＝a·

bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？

解　建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点（1,8），（2,18），（3,30）．

（1）构造二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

将点坐标代入，可得

解得a＝1，b＝7，c＝0，

则f（x）＝x2＋7x，故f（4）＝44，与计划误差为1.

（2）构造指数函数模型

g（x）＝a·

bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），

解得a＝

，b＝

，c＝－42.则g（x）＝

·

x－42，

故g（4）＝

4－42＝44.4，与计划误差为1.4.

由

（1）

（2）可得，f（x）＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．

规律方法　1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．

2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．

跟踪演练2　函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图象如图．

（1）指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；

（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．

解　

（1）由函数图象特征及变化趋势，知

曲线C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，

曲线C2对应的函数为f（x）＝lgx.

（2）当x∈（0，x1）时，g（x）＞f（x）；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜f（x）；

当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞f（x）．

函数g（x）＝0.3x－1呈直线增长，函数f（x）随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（　　）

A．y＝100x　　　　　　　B．y＝log100x

C．y＝x100D．y＝100x

答案　D

解析　几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.

2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是（　　）

A．2x＞x2＞log2xB．x2＞2x＞log2x

C．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x

答案　B

解析　方法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间（2,4）上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.

方法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.

3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）

解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，

由题意，得ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），

∴y＝f（x）的图象大致为D中图象．

4．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到（　　）

A．300只B．400只

C．500只D．600只

解析　由已知第一年有100只，得a＝100.

将a＝100，x＝7代入y＝alog2（x＋1），

得y＝300.

5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．

答案　y＝－

x＋50（0＜x＜200）．

解析　设解析式为y＝kx＋b，

由

解得k＝－

，b＝50，

∴y＝－

三种函数模型的选取

（1）当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．

（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．

（3）幂函数模型y＝xn（n＞0），则可以描述增长幅度不同的变化：

n值较小（n≤1）时，增长较慢；

n值较大（n＞1）时，增长较快．

一、基础达标

1．下列函数中，增长速度最慢的是（　　）

A．y＝6x　　　　　　　　B．y＝log6x

C．y＝x6D．y＝6x

解析　对数函数增长的越来越慢，故选B.

2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2（v1＜v2），则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为（　　）

解析　∵v1＜v2，

∴前半段路程用的时间长．

3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（　　）

A．y＝0.9

B．y＝（1－0.1

）m

C．y＝0.9

mD．y＝（1－0.150x）m

答案　C

解析　设每年湖水量为上一年的q%，

则（q%）50＝0.9，∴q%＝0.9

.

∴x年后的湖水量为y＝0.9

m.

4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（　　）

A．y＝0.2xB．y＝

（x2＋2x）

C．y＝

D．y＝0.2＋log16x

解析　将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．

5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·

（0.5）x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．

答案　1.75

解析　由

得

所以y＝－2×

0.5x＋2，

所以3月份产量为y＝－2×

0.53＋2＝1.75（万件）．

6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：

①前5min温度增加的速度越来越快；

②前5min温度增加的速度越来越慢；

③5min以后温度保持匀速增加；

④5min以后温度保持不变．

其中正确的说法是________．

答案　②④

解析　因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．

7．一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：

“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：

“家庭旅行为集体票，按原价

优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．

解　设家庭中孩子数为x（x≥1，x∈N＋），

旅游收费为y，旅游原价为a.

甲旅行社收费：

y＝a＋

（x＋1）a＝

（x＋3）a；

乙旅行社收费：

y＝

（x＋2）a.

∵

（x＋2）a－

（x＋3）a＝

（x－1）a，

∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．

当x＞1时，甲旅行社更优惠．

二、能力提升

8．若x∈（1,2），则下列结论正确的是（　　）

A．2x＞

＞lgxB．2x＞lgx＞

C．

＞2x＞lgxD．

＞lgx＞2x

解析　∵x∈（1,2），∴2x∈（2,4）．

∴

∈（1，

），lgx∈（0,1）．

∴2x＞

＞lgx.

9．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（　　）

解析　（如图）取OH的中点E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．

10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量