版高考数学 专题2 指数函数对数函数和幂函数 251 几种函数增长快慢的比较学案 湘教Word文档格式.docx

1、要点一函数模型的增长差异例1（1）当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）Ay10000x Bylog2xCyx1000 Dyx（2）四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：151015202530y1226101226401626901y2321024327681.051063.361071.07109y3405060y44.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_答案（1）D（2）y2解析（1）由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数yx增长速度最快（2）以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可

2、以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化规律方法在区间（0，）上，尽管函数yax（a1），ylogax（a1）和yxn（n0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax（a1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn（n0）的增长速度，而ylogax（a1）的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若xx0，有logaxxnax.跟踪演练1如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春

3、来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（）A指数函数：y2t B对数函数：ylog2tC幂函数：yt3 D二次函数：y2t2答案A解析由题中图象可知，该函数模型为指数函数要点二几种函数模型的比较例2某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8（万）18（万）30（万）如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f（x）ax2bxc（a0），指数函数模型g（x）abxc（a0，b0，b1），哪个模

4、型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点（1,8），（2,18），（3,30）（1）构造二次函数模型f（x）ax2bxc（a0），将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f（x）x27x，故f（4）44，与计划误差为1.（2）构造指数函数模型g（x）abxc（a0，b0，b1），解得a，b，c42.则g（x）x42，故g（4）44244.4，与计划误差为1.4.由（1）（2）可得，f（x）x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系规律方法1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而

5、求出待定参数2理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣跟踪演练2函数f（x）lgx，g（x）0.3x1的图象如图（1）指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）解（1）由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g（x）0.3x1，曲线C2对应的函数为f（x）lgx.（2）当x（0，x1）时，g（x）f（x）；当x（x1，x2）时，g（x）f（x）；当x（x2，）时，g（x）f（x）函数g（x）0.3x1呈直线增长，函数f（x）随着x的逐渐增大，其函数值变

6、化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）Ay100x Bylog100xCyx100 Dy100x答案D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是（）A2xx2log2x Bx22xlog2xC2xlog2xx2 Dx2log2x2x答案B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x，在区间（2,4）上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x22xlog2x.方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取x3，经检验易知选B.3某林区的

7、森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf（x）的图象大致是（）解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，得axa（10.104）y，故ylog1.104x（x1），yf（x）的图象大致为D中图象4某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为yalog2（x1），设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到（）A300只 B400只C500只 D600只解析由已知第一年有100只，得a100.将a100，x7代入yalog2（x1），得y300.5某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一

8、次函数，则这个函数解析式为_答案yx50（0x200）解析设解析式为ykxb，由解得k，b50，y三种函数模型的选取（1）当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型（3）幂函数模型yxn（n0），则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小（n1）时，增长较慢；n值较大（n1）时，增长较快一、基础达标1下列函数中，增长速度最慢的是（）Ay6x Bylog6xCyx6 Dy6x解析对数函数增长的越来越慢，故选B.2甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2（v1v2），则甲从A地到B地走过的

9、路程s与时间t的关系图象为（）解析v1v2，前半段路程用的时间长3据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（）Ay0.9 By（10.1）mCy0.9m Dy（10.150x）m答案C解析设每年湖水量为上一年的q%，则（q%）500.9，q%0.9.x年后的湖水量为y0.9m.4某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（）Ay0.2x By（x22x）Cy Dy0.2lo

10、g16x解析将x1,2,3，y0.2,0.4,0.76分别代入验算5已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya（0.5）xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则此厂3月份该产品产量为_万件答案1.75解析由得所以y20.5x2，所以3月份产量为y20.5321.75（万件）6在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示现给出下列说法：前5min温度增加的速度越来越快；前5min温度增加的速度越来越慢；5min以后温度保持匀速增加；5min以后温度保持不变其中正确的说法是_答案解析因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5

11、min前每当t增加一个单位增量t，则y相应的增量y越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则正确7一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠”这两家旅行社的原价是一样的试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠解设家庭中孩子数为x（x1，xN），旅游收费为y，旅游原价为a.甲旅行社收费：ya（x1）a（x3）a；乙旅行社收费：y（x2）a.（x2）a（x3）a（x1）a，当x1时，两家旅行社收费相等当x1时，甲旅行社更优惠二、能力提升8若x（1,2），则下列结论正确的是（）A2xlgx B2xlgxC2xlgx Dlgx2x解析x（1,2），2x（2,4）（1，），lgx（0,1）2xlgx.9向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）解析（如图）取OH的中点E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半易知B符合题意10在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量