答案 A
解析 z=+=2a+(1-a)i,
若复数z对应的点在复平面内位于第四象限,
则解得a>1.故选A.
核心规律
1.实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.设z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.
3.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法法则需分母实数化.
满分策略
1.判定复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不能比较大小,但说两个复数不能比较大小就不对了.
3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,z+z=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复数范围内有可能成立.
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列12——解决复数问题的实数化思想
[2018·金华模拟]已知z∈C,解方程z·-3i=1+3i.
解题视点 设z=a+bi(a,b∈R),根据已知中恒等的条件,列出一组含a,b的方程,解方程组使问题获得解决.
解 设z=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i.
根据复数相等的定义,得
解之得或∴z=-1或z=-1+3i.
答题启示 1复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法.
2本题求解的关键是先把z用复数的形式表示出来,再用待定系数法求解,这是常用的数学方法.
3本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解.
跟踪训练
[2018·金版创新]设复数z满足z+||=2+i,则z=( )
A.-+iB.+iC.--iD.-i
答案 B
解析 设z=a+bi(a,b∈R),由已知得a+bi+=2+i,由复数相等可得∴故z=+i,故选B.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
A.B.C.D.2
答案 C
解析 由(1+i)z=2i,得z==1+i,
∴|z|=.故选C.
∵2i=(1+i)2,
∴由(1+i)z=2i=(1+i)2,得z=1+i,∴|z|=.故选C.
2.[2018·湖南模拟]已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
答案 D
解析 由=1+i,得z===
=-1-i.
3.[2018·江西模拟]已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2为( )
A.+iB.+i
C.-iD.-i
答案 A
解析 z1·z2=(cos23°+isin23°)·(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=+i.故选A.
4.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,则=( )
A.1+iB.+i
C.1+iD.1+i
答案 B
解析 因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,所以z2=2-i,所以===+i.故选B.
5.[2018·天津模拟]已知复数z满足(i-1)(z-i3)=2i(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A.i-1B.1+2iC.1-iD.1-2i
答案 B
解析 依题意可得z=+i3=-i=-(i-1)-i=1-2i,其共轭复数为1+2i,故选B.
6.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则=( )
A